एक क्लब के सभी सदस्य मुंबई गए और एक होटल में ठहरे। पहले दिन, 80% लोग खरीदारी के लिए गए और 50% लोग दर्शनीय स्थलों की यात्रा के लिए गए, जबकि 10% लोगों ने होटल में आराम किया। उपरोक्त आंकड़ों से निम्नलिखित में से कौन सा निष्कर्ष निकाला जा सकता है? 1. 40% सदस्य खरीदारी और दर्शनीय स्थलों की यात्रा दोनों के लिए गए। 2. 20% सदस्य केवल खरीदारी के लिए गए। नीचे दिए गए कूट का उपयोग करके सही उत्तर चुनें:

इस समस्या में अतिव्यापी (overlapping) समुच्चयों की गतिविधियाँ शामिल हैं। मान लीजिए कि खरीदारी के लिए गए सदस्यों का प्रतिशत S, दर्शनीय स्थलों की यात्रा के लिए गए सदस्यों का प्रतिशत T, और आराम करने वाले सदस्यों का प्रतिशत R है। दिया गया है: S = 80% T = 50% R = 10%

उल्लिखित गतिविधियों का कुल प्रतिशत 80% + 50% + 10% = 140% है। चूंकि यह 100% से अधिक है, इसलिए इन गतिविधियों के बीच अतिव्यापन (overlap) होना चाहिए। हम यह नहीं मान सकते कि आराम करने वाले 10% लोगों ने खरीदारी या दर्शनीय स्थलों की यात्रा नहीं की।

मान लीजिए X उन सदस्यों का प्रतिशत है जो खरीदारी और दर्शनीय स्थलों की यात्रा दोनों के लिए गए (S ∩ T)। मान लीजिए Y उन सदस्यों का प्रतिशत है जो खरीदारी और आराम दोनों के लिए गए (S ∩ R)। मान लीजिए Z उन सदस्यों का प्रतिशत है जो दर्शनीय स्थलों की यात्रा और आराम दोनों के लिए गए (T ∩ R)। मान लीजिए W उन सदस्यों का प्रतिशत है जो खरीदारी, दर्शनीय स्थलों की यात्रा और आराम तीनों के लिए गए (S ∩ T ∩ R)।

यह मानते हुए कि सभी सदस्यों ने कम से कम एक गतिविधि (खरीदारी, दर्शनीय स्थलों की यात्रा, या आराम) में भाग लिया, इन तीन समुच्चयों का कुल संघ (union) 100% है। तीन समुच्चयों के संघ का सूत्र है: |S ∪ T ∪ R| = |S| + |T| + |R| - (|X| + |Y| + |Z|) + |W| 100% = 80% + 50% + 10% - (X + Y + Z) + W 100% = 140% - (X + Y + Z) + W यह सरल होकर बनता है: X + Y + Z - W = 40%

आइए प्रत्येक कथन का विश्लेषण करें:

कथन 1: "40% सदस्य खरीदारी और दर्शनीय स्थलों की यात्रा दोनों के लिए गए।" (अर्थात्, X = 40%)

• हम जानते हैं कि खरीदारी और दर्शनीय स्थलों की यात्रा के लिए प्रतिशत का योग 80% + 50% = 130% है। चूंकि कुल सदस्य 100% से अधिक नहीं हो सकते, इसलिए कम से कम 30% ने दोनों काम किए होंगे। अतः, X ≥ 30%।
• साथ ही, खरीदारी और दर्शनीय स्थलों की यात्रा दोनों करने वाले सदस्यों का प्रतिशत दोनों समूहों में से छोटे समूह, जो कि 50% (दर्शनीय स्थलों की यात्रा) है, से अधिक नहीं हो सकता। अतः, X ≤ 50%।
• इसलिए, X का मान [30%, 50%] की सीमा में है।
• चूंकि X निश्चित रूप से 40% नहीं है (यह 30%, 50%, या बीच का कोई भी मान हो सकता है), कथन 1 को निष्कर्ष के रूप में नहीं निकाला जा सकता है।

कथन 2: "20% सदस्य केवल खरीदारी के लिए गए।"

• केवल खरीदारी के लिए गए सदस्यों का प्रतिशत इस प्रकार दिया गया है: |S केवल| = |S| - X - Y + W।
• हमारे व्युत्पन्न समीकरण से: X + Y + Z - W = 40%। हम इसे Y - W ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: Y - W = 40% - X - Z।
• "केवल खरीदारी" व्यंजक में इसे प्रतिस्थापित करें: |S केवल| = 80% - X - (40% - X - Z) |S केवल| = 80% - X - 40% + X + Z |S केवल| = 40% + Z
• यहां, Z उन सदस्यों का प्रतिशत है जो दर्शनीय स्थलों की यात्रा और आराम दोनों के लिए गए (|T ∩ R|)।
• Z का मान 0% (यदि आराम करने वाले किसी भी व्यक्ति ने दर्शनीय स्थलों की यात्रा नहीं की) से लेकर 10% (यदि आराम करने वाले सभी लोगों ने दर्शनीय स्थलों की यात्रा की, क्योंकि R 10% है) तक हो सकता है।
• इसलिए, केवल खरीदारी के लिए गए सदस्यों का प्रतिशत 40% + 0% = 40% से लेकर 40% + 10% = 50% तक हो सकता है।
• चूंकि केवल खरीदारी के लिए प्रतिशत [40%, 50%] की सीमा में है, इसलिए यह निश्चित रूप से निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता कि यह 20% है। कथन 2 को निष्कर्ष के रूप में नहीं निकाला जा सकता है।

चूंकि न तो कथन 1 और न ही कथन 2 को दिए गए आंकड़ों से निश्चित रूप से निष्कर्ष निकाला जा सकता है, इसलिए सही उत्तर D है।

अंतिम उत्तर D है।