अंक 1, 2, 3, 4 और 5 का प्रयोग करके, बिना पुनरावृत्ति के, कितने पाँच-अंकीय अभाज्य संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं?

अंकों 1, 2, 3, 4, और 5 का योग 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 है।

विभाज्यता का एक मौलिक नियम कहता है कि यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो वह संख्या 3 से विभाज्य होती है। चूँकि अंकों का योग (15) 3 से विभाज्य है, इन अंकों का बिना पुनरावृत्ति के प्रयोग करके बनने वाली कोई भी पाँच-अंकीय संख्या भी 3 से विभाज्य होगी।

किसी संख्या के अभाज्य होने के लिए, उसे 1 से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या होना चाहिए जिसके 1 और स्वयं के अलावा कोई धनात्मक भाजक न हो।

इन अंकों का प्रयोग करके बनने वाली कोई भी संख्या (जैसे, 12345, 54321, आदि) एक पाँच-अंकीय संख्या होगी, जो स्पष्ट रूप से 3 से बड़ी है।

चूँकि ऐसी सभी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं और 3 से बड़ी हैं, इसलिए उनके भाजक 1 और स्वयं के अलावा 3 भी है। अतः, इनमें से कोई भी संख्या अभाज्य नहीं हो सकती।

इस प्रकार, इन अंकों का प्रयोग करके प्राप्त की जा सकने वाली पाँच-अंकीय अभाज्य संख्याओं की संख्या 0 है।

विकल्पों का विश्लेषण: A) 0: यह सही है क्योंकि ऐसी कोई अभाज्य संख्या नहीं बनाई जा सकती। B) 1: गलत, जैसा कि ऊपर बताया गया है। C) 9: गलत। D) 10: गलत।

अंतिम उत्तर A है।