ऐसे प्राकृतिक संख्याओं के कितने युग्म हैं जिनके वर्गों का अंतर 63 है?

प्रश्न में प्राकृतिक संख्याओं (a, b) के ऐसे युग्मों की संख्या पूछी गई है जिनके वर्गों का अंतर 63 है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: a^2 - b^2 = 63।

वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करके, a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)। अतः, हमारे पास (a - b)(a + b) = 63 है।

मान लीजिए x = a - b और y = a + b। तब, x * y = 63।

चूंकि a और b प्राकृतिक संख्याएँ (धनात्मक पूर्णांक) हैं, हम x और y के लिए कुछ गुणधर्म ज्ञात कर सकते हैं:

1. a^2 - b^2 = 63 > 0 का अर्थ है a^2 > b^2, इसलिए a > b। इसका मतलब है कि x = a - b एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
2. चूंकि a और b धनात्मक हैं, y = a + b भी एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
3. a > b से, यह निष्कर्ष निकलता है कि a + b > a - b, इसलिए y > x।
4. हम a और b को x और y के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: a = (x + y) / 2 b = (y - x) / 2 a और b के पूर्णांक होने के लिए, (x + y) और (y - x) दोनों सम होने चाहिए। इसका तात्पर्य है कि x और y की समता समान होनी चाहिए (दोनों सम या दोनों विषम)।
5. चूंकि उनका गुणनफल x * y = 63 (एक विषम संख्या) है, इसलिए x और y दोनों विषम होने चाहिए।

अब, हमें 63 के गुणनखंडों के ऐसे युग्म (x, y) ज्ञात करने होंगे जो इन शर्तों को पूरा करते हों (x * y = 63, x और y विषम हैं, y > x): 63 के गुणनखंड 1, 3, 7, 9, 21, 63 हैं।

आइए (x, y) के संभावित युग्मों को सूचीबद्ध करें जहाँ x * y = 63 और y > x:

1. x = 1, y = 63। (दोनों विषम हैं, y > x) a = (1 + 63) / 2 = 64 / 2 = 32 b = (63 - 1) / 2 = 62 / 2 = 31 यह युग्म (32, 31) देता है। (जांच: 32^2 - 31^2 = 1024 - 961 = 63)

2. x = 3, y = 21। (दोनों विषम हैं, y > x) a = (3 + 21) / 2 = 24 / 2 = 12 b = (21 - 3) / 2 = 18 / 2 = 9 यह युग्म (12, 9) देता है। (जांच: 12^2 - 9^2 = 144 - 81 = 63)

3. x = 7, y = 9। (दोनों विषम हैं, y > x) a = (7 + 9) / 2 = 16 / 2 = 8 b = (9 - 7) / 2 = 2 / 2 = 1 यह युग्म (8, 1) देता है। (जांच: 8^2 - 1^2 = 64 - 1 = 63)

ये सभी संभावित गुणनखंड युग्म (x, y) हैं जो शर्तों को पूरा करते हैं। प्रत्येक युग्म प्राकृतिक संख्याओं (a, b) का एक अद्वितीय युग्म देता है। ऐसे 3 युग्म हैं।

अंतिम उत्तर A) 3 है।