एक अंकीय लॉक है जिसमें 3-अंकीय पिन है। पिन में अंक 1 से 7 तक हैं। अंकों की पुनरावृत्ति नहीं है। पिन में बाएं से दाएं अंक घटते क्रम में हैं। पिन में किन्हीं भी दो अंकों का अंतर कम से कम 2 है। पिन का निश्चित रूप से पता लगाने के लिए अधिकतम कितने प्रयासों की आवश्यकता होगी?

प्रश्न में निश्चितता के साथ 3-अंकीय पिन खोजने के लिए आवश्यक अधिकतम प्रयासों की संख्या पूछी गई है। यह सभी दी गई शर्तों को पूरा करने वाले संभावित मान्य पिनों की कुल संख्या ज्ञात करने के बराबर है। मान लीजिए 3-अंकीय पिन XYZ द्वारा दर्शाया गया है। शर्तें हैं: 1. अंक 1 से 7 तक हैं (अर्थात्, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7})। 2. अंकों की पुनरावृत्ति नहीं है (X, Y, Z भिन्न हैं)। 3. अंक बाएं से दाएं घटते क्रम में हैं (X > Y > Z)। 4. पिन में किन्हीं भी दो अंकों का अंतर कम से कम 2 है। इसका तात्पर्य है कि X - Y >= 2 और Y - Z >= 2। (यदि X > Y > Z, X - Y >= 2, और Y - Z >= 2 है तो X - Z >= 2 शर्त स्वतः संतुष्ट हो जाती है)। आइए व्यवस्थित रूप से अंकों का चयन करके सभी संभावित मान्य पिनों को सूचीबद्ध करें: 1. X = 7 (सबसे बड़ा संभावित अंक) से शुरू करते हुए: * यदि Y = 5 (चूंकि 7 - 5 = 2, जो X - Y >= 2 को संतुष्ट करता है): Z को इस प्रकार चुना जाना चाहिए कि 5 - Z >= 2 हो, इसलिए Z = 1 होना चाहिए। संभावित Z मान: {3, 2, 1}। इससे पिन प्राप्त होते हैं: (7, 5, 3), (7, 5, 2), (7, 5, 1) - (3 पिन) * यदि Y = 4 (चूंकि 7 - 4 = 3, जो X - Y >= 2 को संतुष्ट करता है): Z को इस प्रकार चुना जाना चाहिए कि 4 - Z >= 2 हो, इसलिए Z = 1 होना चाहिए। संभावित Z मान: {2, 1}। इससे पिन प्राप्त होते हैं: (7, 4, 2), (7, 4, 1) - (2 पिन) * यदि Y = 3 (चूंकि 7 - 3 = 4, जो X - Y >= 2 को संतुष्ट करता है): Z को इस प्रकार चुना जाना चाहिए कि 3 - Z >= 2 हो, इसलिए Z = 1 होना चाहिए। संभावित Z मान: {1}। इससे पिन प्राप्त होता है: (7, 3, 1) - (1 पिन) * (ध्यान दें: Y, 6 नहीं हो सकता क्योंकि 7 - 6 = 1, जो >= 2 नहीं है। Y, 3 से कम नहीं हो सकता क्योंकि Y - Z >= 2 और Z कम से कम 1 होना चाहिए, इसलिए Y कम से कम 3 होना चाहिए।) X = 7 के लिए कुल पिन: 3 + 2 + 1 = 6 पिन। 2. X = 6 से शुरू करते हुए: * यदि Y = 4 (चूंकि 6 - 4 = 2, जो X - Y >= 2 को संतुष्ट करता है): Z को इस प्रकार चुना जाना चाहिए कि 4 - Z >= 2 हो, इसलिए Z = 1 होना चाहिए। संभावित Z मान: {2, 1}। इससे पिन प्राप्त होते हैं: (6, 4, 2), (6, 4, 1) - (2 पिन) * यदि Y = 3 (चूंकि 6 - 3 = 3, जो X - Y >= 2 को संतुष्ट करता है): Z को इस प्रकार चुना जाना चाहिए कि 3 - Z >= 2 हो, इसलिए Z = 1 होना चाहिए। संभावित Z मान: {1}। इससे पिन प्राप्त होता है: (6, 3, 1) - (1 पिन) * (ध्यान दें: Y, 5 नहीं हो सकता क्योंकि 6 - 5 = 1। Y, 3 से कम नहीं हो सकता।) X = 6 के लिए कुल पिन: 2 + 1 = 3 पिन। 3. X = 5 से शुरू करते हुए: * यदि Y = 3 (चूंकि 5 - 3 = 2, जो X - Y >= 2 को संतुष्ट करता है): Z को इस प्रकार चुना जाना चाहिए कि 3 - Z >= 2 हो, इसलिए Z = 1 होना चाहिए। संभावित Z मान: {1}। इससे पिन प्राप्त होता है: (5, 3, 1) - (1 पिन) * (ध्यान दें: Y, 4 नहीं हो सकता क्योंकि 5 - 4 = 1। Y, 3 से कम नहीं हो सकता।) X = 5 के लिए कुल पिन: 1 पिन। 4. X = 4 से शुरू करते हुए: * यदि X = 4 है, तो Y = 2)। हालांकि, Y >= 3 भी होना चाहिए (क्योंकि Y - Z >= 2 और Z >= 1, इसलिए Y >= 1 + 2 = 3)। ये शर्तें (Y = 3) विरोधाभासी हैं। इसलिए, 4 या किसी भी छोटी संख्या से शुरू होने वाले कोई पिन नहीं हो सकते। संभावित मान्य पिनों की कुल संख्या = 6 (X=7 के लिए) + 3 (X=6 के लिए) + 1 (X=5 के लिए) = 10 पिन। निश्चितता के साथ पिन का पता लगाने के लिए, सबसे खराब स्थिति में सभी संभावित मान्य पिनों को आज़माना पड़ सकता है। यदि 10 संभावित पिन हैं, तो आवश्यक अधिकतम प्रयासों की संख्या 10 है। अंतिम उत्तर C है।