अक्षर A, B, C, D और E को इस प्रकार व्यवस्थित किया गया है कि A और E के बीच ठीक दो अक्षर हों। ऐसी कितनी व्यवस्थाएँ संभव हैं?

यहाँ एक संक्षिप्त व्याख्या दी गई है: 1. **ब्लॉक संरचना की पहचान करें:** समस्या में कहा गया है कि A और E के बीच ठीक दो अक्षर हैं। यह (A _ _ E) या (E _ _ A) जैसा एक ब्लॉक बनाता है। 2. **A और E के बीच दो स्थानों को भरें:** * शेष उपलब्ध अक्षर B, C, D (3 अक्षर) हैं। * हमें इन 3 अक्षरों में से 2 को चुनना है और उन्हें दो स्थानों में व्यवस्थित करना है। * ऐसा करने के तरीकों की संख्या = 3 वस्तुओं में से 2 को चुनने के क्रमचय (Permutations) = 3P2 = 3 * 2 = 6 तरीके। * (उदाहरण के लिए, यदि अक्षर B और C हैं, तो वे BC या CB हो सकते हैं)। 3. **A और E के क्रम पर विचार करें:** * ब्लॉक (A _ _ E) या (E _ _ A) हो सकता है। इससे 2 संभावनाएं बनती हैं। * तो, चरण 2 के साथ मिलाकर, इस 4-अक्षर अनुक्रम (जैसे, ABC E, EBC A) बनाने के 6 (मध्य अक्षरों के लिए) * 2 (A/E क्रम के लिए) = 12 तरीके हैं। 4. **शेष अक्षर के साथ 4-अक्षर ब्लॉक को व्यवस्थित करें:** * 4-अक्षर ब्लॉक (जैसे, A B C E) बनाने के बाद, 1 अक्षर शेष रहता है (जैसे, D, यदि B और C को मध्य के लिए चुना गया था)। * अब हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए दो इकाइयाँ हैं: 4-अक्षर ब्लॉक और एकल शेष अक्षर। * इन 2 इकाइयों को 2! = 2 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है (जैसे, (A B C E) D या D (A B C E))। 5. **कुल व्यवस्थाएँ:** चरण 3 और 4 से संभावनाओं को गुणा करें। * कुल = 12 * 2 = 24। इसलिए, ऐसी 24 व्यवस्थाएँ संभव हैं। अंतिम उत्तर C) 24 है।