अक्षर A, B, C, D और E को इस प्रकार व्यवस्थित किया गया है कि A और E के बीच ठीक दो अक्षर हों। ऐसी कितनी व्यवस्थाएँ संभव हैं?

यहाँ एक संक्षिप्त व्याख्या दी गई है:

1. ब्लॉक संरचना की पहचान करें: समस्या में कहा गया है कि A और E के बीच ठीक दो अक्षर हैं। यह (A _ _ E) या (E _ _ A) जैसा एक ब्लॉक बनाता है।

2. A और E के बीच दो स्थानों को भरें:

   • शेष उपलब्ध अक्षर B, C, D (3 अक्षर) हैं।
   • हमें इन 3 अक्षरों में से 2 को चुनना है और उन्हें दो स्थानों में व्यवस्थित करना है।
   • ऐसा करने के तरीकों की संख्या = 3 वस्तुओं में से 2 को चुनने के क्रमचय (Permutations) = 3P2 = 3 * 2 = 6 तरीके।
   • (उदाहरण के लिए, यदि अक्षर B और C हैं, तो वे BC या CB हो सकते हैं)।

3. A और E के क्रम पर विचार करें:

   • ब्लॉक (A _ _ E) या (E _ _ A) हो सकता है। इससे 2 संभावनाएं बनती हैं।
   • तो, चरण 2 के साथ मिलाकर, इस 4-अक्षर अनुक्रम (जैसे, ABC E, EBC A) बनाने के 6 (मध्य अक्षरों के लिए) * 2 (A/E क्रम के लिए) = 12 तरीके हैं।

4. शेष अक्षर के साथ 4-अक्षर ब्लॉक को व्यवस्थित करें:

   • 4-अक्षर ब्लॉक (जैसे, A B C E) बनाने के बाद, 1 अक्षर शेष रहता है (जैसे, D, यदि B और C को मध्य के लिए चुना गया था)।
   • अब हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए दो इकाइयाँ हैं: 4-अक्षर ब्लॉक और एकल शेष अक्षर।
   • इन 2 इकाइयों को 2! = 2 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है (जैसे, (A B C E) D या D (A B C E))।

5. कुल व्यवस्थाएँ: चरण 3 और 4 से संभावनाओं को गुणा करें।

   • कुल = 12 * 2 = 24।

इसलिए, ऐसी 24 व्यवस्थाएँ संभव हैं।

अंतिम उत्तर C) 24 है।