एक मेज पर 9 कप इस प्रकार रखे गए हैं कि पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान है, जिनमें से 6 कप में कॉफी और 3 कप में चाय है। उन्हें कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक कप कॉफी हो?

प्रश्न में 6 कॉफी कप (C) और 3 चाय कप (T) को 3x3 ग्रिड में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या पूछी गई है कि प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक कॉफी कप हो। प्रत्येक पंक्ति में 3 स्थान हैं।

मान लीजिए C_i और T_i क्रमशः पंक्ति i में कॉफी और चाय कप की संख्या है। हम जानते हैं:

1. C_1 + C_2 + C_3 = 6 (कुल कॉफी कप)
2. T_1 + T_2 + T_3 = 3 (कुल चाय कप)
3. प्रत्येक पंक्ति i के लिए C_i + T_i = 3 (प्रत्येक पंक्ति में 3 स्थान हैं)
4. प्रत्येक पंक्ति i के लिए C_i >= 1 (प्रति पंक्ति कम से कम एक कॉफी कप)

C_i >= 1 और C_i + T_i = 3 से, एक एकल पंक्ति के भीतर कपों के संभावित वितरण हैं: a) (C=1, T=2): 1 कॉफी कप, 2 चाय कप। (जैसे, CTT, TCT, TTC) b) (C=2, T=1): 2 कॉफी कप, 1 चाय कप। (जैसे, CCT, CTC, TCC) c) (C=3, T=0): 3 कॉफी कप, 0 चाय कप। (जैसे, CCC)

अब हमें तीन पंक्तियों (पंक्ति 1, पंक्ति 2, पंक्ति 3) के लिए इन पंक्ति प्रकारों के संयोजन खोजने होंगे ताकि कुल कॉफी कप का योग 6 हो और कुल चाय कप का योग 3 हो।

मान लीजिए x, y, z क्रमशः (C=1, T=2), (C=2, T=1), और (C=3, T=0) प्रकार की पंक्तियों की संख्या है। x + y + z = 3 (कुल पंक्तियाँ) 1x + 2y + 3z = 6 (कुल कॉफी कप) 2x + 1y + 0z = 3 (कुल चाय कप)

चाय कप समीकरण (2x + y = 3) से, x, y, z गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मानते हुए: स्थिति 1: x = 0 y = 3. x+y+z=3 में प्रतिस्थापित करें: 0+3+z=3 => z=0। कॉफी योग की जाँच करें: 1(0) + 2(3) + 3(0) = 6। यह सुसंगत है। यह परिदृश्य (x,y,z) = (0,3,0) है, जिसका अर्थ है कि तीनों पंक्तियाँ (C=2, T=1) प्रकार की हैं।

स्थिति 2: x = 1 2(1) + y = 3 => y = 1। x+y+z=3 में प्रतिस्थापित करें: 1+1+z=3 => z=1। कॉफी योग की जाँच करें: 1(1) + 2(1) + 3(1) = 1+2+3 = 6। यह सुसंगत है। यह परिदृश्य (x,y,z) = (1,1,1) है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक प्रकार की एक पंक्ति: (C=1, T=2), (C=2, T=1), और (C=3, T=0)।

अब हम प्रत्येक परिदृश्य के लिए व्यवस्थाओं की संख्या की गणना करते हैं:

परिदृश्य 1: तीनों पंक्तियाँ (C=2, T=1) प्रकार की हैं।

• तीनों पंक्तियों को इस प्रकार निर्दिष्ट करने का केवल 1 तरीका है (सभी पंक्तियाँ प्रकार में समान हैं)।
• (C=2, T=1) प्रकार की एक एकल पंक्ति के लिए: 3 में से 2 स्थानों को कॉफी कप के लिए चुनना है। यह 3C2 = 3 तरीके हैं।
• चूंकि ऐसी 3 पंक्तियाँ हैं, इस परिदृश्य के लिए कुल तरीके = 1 * (3 * 3 * 3) = 27 तरीके।

परिदृश्य 2: (C=1, T=2) प्रकार की एक पंक्ति, (C=2, T=1) प्रकार की एक पंक्ति, और (C=3, T=0) प्रकार की एक पंक्ति।

• इन तीन अलग-अलग प्रकारों को तीन पंक्तियों में निर्दिष्ट करने के 3! = 6 तरीके हैं (जैसे, पंक्ति 1 C1T2 है, पंक्ति 2 C2T1 है, पंक्ति 3 C3T0 है; या पंक्ति 1 C1T2 है, पंक्ति 2 C3T0 है, पंक्ति 3 C2T1 है, आदि)।
• (C=1, T=2) प्रकार की एक पंक्ति के लिए: 3 में से 1 स्थान कॉफी के लिए चुनें। यह 3C1 = 3 तरीके हैं।
• (C=2, T=1) प्रकार की एक पंक्ति के लिए: 3 में से 2 स्थान कॉफी के लिए चुनें। यह 3C2 = 3 तरीके हैं।
• (C=3, T=0) प्रकार की एक पंक्ति के लिए: 3 में से 3 स्थान कॉफी के लिए चुनें। यह 3C3 = 1 तरीका है।
• पंक्तियों को प्रकारों के 6 असाइनमेंट में से प्रत्येक के लिए, आंतरिक व्यवस्था के तरीके 3 * 3 * 1 = 9 तरीके हैं।
• इस परिदृश्य के लिए कुल तरीके = 6 * 9 = 54 तरीके।

तरीकों की कुल संख्या = परिदृश्य 1 से तरीके + परिदृश्य 2 से तरीके कुल = 27 + 54 = 81 तरीके।

अंतिम उत्तर D है।