दो प्राकृत संख्याओं p और q के संबंध में निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए, जहाँ p एक अभाज्य संख्या है और q एक भाज्य संख्या है: 1. p x q एक विषम संख्या हो सकती है। 2. q / p एक अभाज्य संख्या हो सकती है। 3. p + q एक अभाज्य संख्या हो सकती है। उपरोक्त कथनों में से कौन से सही हैं?

प्रश्न में एक अभाज्य संख्या 'p' और एक भाज्य संख्या 'q' के बारे में दिए गए कथनों में से कौन से सही हैं, यह पूछा गया है।

आइए प्रत्येक कथन का विश्लेषण करें:

1. p x q एक विषम संख्या हो सकती है। दो संख्याओं के गुणनफल के विषम होने के लिए, दोनों संख्याएँ विषम होनी चाहिए। क्या 'p' एक विषम अभाज्य संख्या हो सकती है? हाँ, उदाहरण के लिए, p = 3, 5, 7, आदि (2 को छोड़कर सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं)। क्या 'q' एक विषम भाज्य संख्या हो सकती है? हाँ, उदाहरण के लिए, q = 9 (3x3), 15 (3x5), 21 (3x7), 25 (5x5)। यदि p = 3 और q = 9 है, तो p x q = 3 x 9 = 27, जो एक विषम संख्या है। अतः, कथन 1 सही है।

2. q / p एक अभाज्य संख्या हो सकती है। 'q' एक भाज्य संख्या है, और 'p' एक अभाज्य संख्या है। q / p के अभाज्य संख्या होने के लिए, 'q' को 'p' का गुणज होना चाहिए, और परिणाम अभाज्य होना चाहिए। मान लीजिए p = 3 (एक अभाज्य संख्या)। मान लीजिए q = 15 (एक भाज्य संख्या, 3x5)। तब q / p = 15 / 3 = 5, जो एक अभाज्य संख्या है। एक और उदाहरण: मान लीजिए p = 2 (एक अभाज्य संख्या)। मान लीजिए q = 6 (एक भाज्य संख्या, 2x3)। तब q / p = 6 / 2 = 3, जो एक अभाज्य संख्या है। अतः, कथन 2 सही है।

3. p + q एक अभाज्य संख्या हो सकती है। 'p' एक अभाज्य संख्या है, और 'q' एक भाज्य संख्या है। हमें यह पता लगाना है कि क्या उनका योग अभाज्य हो सकता है। मान लीजिए p = 2 (एक अभाज्य संख्या)। मान लीजिए q = 9 (एक भाज्य संख्या)। तब p + q = 2 + 9 = 11, जो एक अभाज्य संख्या है। एक और उदाहरण: मान लीजिए p = 3 (एक अभाज्य संख्या)। मान लीजिए q = 4 (एक भाज्य संख्या)। तब p + q = 3 + 4 = 7, जो एक अभाज्य संख्या है। अतः, कथन 3 सही है।

चूंकि तीनों कथन सही हैं, इसलिए उत्तर D है।

अंतिम उत्तर D है।