प्रश्न : X को विभिन्न मूल्यवर्गों : 1, 2, 5, 10 और 20 के तीन सिक्के प्राप्त होते हैं। यदि X को मिली कुल धनराशि m है, तो क्या X को 5 मूल्यवर्ग का सिक्का प्राप्त हुआ है? कथन I : m एक अभाज्य संख्या नहीं है। कथन II : m के अंकों का योग 5 से अधिक है।

यह प्रश्न UPSC CSAT (2023) का है जो 'आंकड़ों की पर्याप्तता' (Data Sufficiency) पर आधारित है।

प्रश्न के अनुसार, X को {1, 2, 5, 10, 20} मूल्यवर्गों में से ठीक तीन अलग-अलग सिक्के प्राप्त होते हैं। आइए संभावित संयोजनों और उनके योग (m) पर विचार करें:

बिना ₹5 वाले संयोजन और उनका योग (m): • 1+2+10 = 13 (अंकों का योग = 4) • 1+2+20 = 23 (अंकों का योग = 5) • 1+10+20 = 31 (अंकों का योग = 4) • 2+10+20 = 32 (अंकों का योग = 5)

₹5 वाले संयोजन और उनका योग (m): • 1+2+5 = 8 (योग = 8) • 1+5+10 = 16 (योग = 7) • 2+5+10 = 17 (योग = 8) • 1+5+20 = 26 (योग = 8) • 2+5+20 = 27 (योग = 9) • 5+10+20 = 35 (योग = 8)

कथन I का विश्लेषण: कथन I कहता है कि m एक अभाज्य संख्या (Prime number) नहीं है। अभाज्य नहीं (Non-prime) वाले योग हैं: 8, 16, 26, 27, 32, 35। इनमें 32 (जिसमें 5 का सिक्का नहीं है) और 8 (जिसमें 5 का सिक्का है) दोनों शामिल हैं। अतः हम निश्चित रूप से नहीं कह सकते कि 5 का सिक्का है या नहीं। कथन I पर्याप्त नहीं है।

कथन II का विश्लेषण: कथन II कहता है कि m के अंकों का योग 5 से अधिक है। जैसा कि ऊपर देखा जा सकता है, बिना ₹5 वाले सभी संयोजनों (13, 23, 31, 32) के अंकों का योग 5 या उससे कम है। वहीं, ₹5 वाले सभी संयोजनों के अंकों का योग हमेशा 5 से अधिक (7, 8, 9) है। अतः, यदि अंकों का योग 5 से अधिक है, तो निश्चित रूप से X को ₹5 का सिक्का मिला है। कथन II अपने आप में उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

निष्कर्ष: चूँकि केवल कथन II अकेले उत्तर देने के लिए पर्याप्त है, जबकि कथन I अकेले पर्याप्त नहीं है, इसलिए विकल्प (A) सही है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं: • B: यह विकल्प तब सही होता जब दोनों कथन स्वतंत्र रूप से अकेले उत्तर देने में सक्षम होते। यहाँ कथन I अपर्याप्त है। • C: दोनों कथनों को एक साथ मिलाने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि कथन II अकेले ही पर्याप्त है। • D: कथन II अकेले उत्तर देने में सक्षम है, इसलिए यह दावा कि दोनों से उत्तर नहीं दिया जा सकता, गलत है।

याद रखने योग्य तथ्य (Takeaway): आंकड़ों की पर्याप्तता (Data Sufficiency) के प्रश्नों में, हमेशा सभी संभावित स्थितियों को व्यवस्थित रूप से सूचीबद्ध करें और प्रत्येक कथन की स्वतंत्र रूप से जाँच करें। यदि किसी एक कथन से 100% निश्चित उत्तर (हाँ या ना) मिलता है, तो वह कथन पर्याप्त होता है।