एक समाज में, यह प्रथा है कि एक ही लिंग के मित्र मिलने पर गले मिलते हैं और विपरीत लिंग के मित्र हाथ मिलाते हैं। दोस्तों का एक समूह एक पार्टी में मिला और वहाँ 24 हाथ मिलाए गए। निम्नलिखित संख्याओं में से कौन सी संख्या संभव आलिंगनों (hugs) की संख्या को दर्शाती है?

माना समूह में पुरुषों की संख्या M और महिलाओं की संख्या F है। 1. हाथ मिलाना: विपरीत लिंग के मित्रों के बीच हाथ मिलाए जाते हैं। हाथ मिलाने की कुल संख्या M * F है। दिया गया है, M * F = 24। 2. आलिंगन (Hugs): एक ही लिंग के मित्रों के बीच आलिंगन होते हैं। पुरुषों के बीच आलिंगनों की संख्या = M * (M - 1) / 2 महिलाओं के बीच आलिंगनों की संख्या = F * (F - 1) / 2 आलिंगनों की कुल संख्या = [M * (M - 1) / 2] + [F * (F - 1) / 2] 3. M * F = 24 के लिए (M, F) के संभावित पूर्णांक युग्म ज्ञात कीजिए: संभावित युग्म (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6) और उनके विपरीत (24, 1), (12, 2), (8, 3), (6, 4) हैं। चूँकि आलिंगनों के लिए सूत्र M और F के संबंध में सममित है, हमें प्रत्येक युग्म के एक क्रम के लिए गणना करने की आवश्यकता है। a) यदि (M, F) = (1, 24): आलिंगन = [1 * (1 - 1) / 2] + [24 * (24 - 1) / 2] = 0 + (24 * 23 / 2) = 0 + 12 * 23 = 276 b) यदि (M, F) = (2, 12): आलिंगन = [2 * (2 - 1) / 2] + [12 * (12 - 1) / 2] = (2 * 1 / 2) + (12 * 11 / 2) = 1 + 6 * 11 = 1 + 66 = 67 c) यदि (M, F) = (3, 8): आलिंगन = [3 * (3 - 1) / 2] + [8 * (8 - 1) / 2] = (3 * 2 / 2) + (8 * 7 / 2) = 3 + 4 * 7 = 3 + 28 = 31 d) यदि (M, F) = (4, 6): आलिंगन = [4 * (4 - 1) / 2] + [6 * (6 - 1) / 2] = (4 * 3 / 2) + (6 * 5 / 2) = 2 * 3 + 3 * 5 = 6 + 15 = 21 4. विकल्पों से तुलना करें: आलिंगनों की संभावित संख्याएँ 276, 67, 31, 21 हैं। विकल्प C 21 है, जो आलिंगनों की संभावित संख्याओं में से एक है। अंतिम उत्तर C) 21 है।