कुछ 3-अंकीय संख्याओं में निम्नलिखित विशेषताएँ हैं: 1. तीनों अंक भिन्न हैं। 2. संख्या 7 से विभाज्य है। 3. अंकों को उलटने पर प्राप्त संख्या भी 7 से विभाज्य है। ऐसी कितनी 3-अंकीय संख्याएँ हैं?

मान लीजिए 3-अंकीय संख्या 100a + 10b + c है। इसकी उलटी संख्या 100c + 10b + a है।

शर्त 1: तीनों अंक (a, b, c) भिन्न हैं। साथ ही, a और c शून्य नहीं हो सकते, क्योंकि वे 3-अंकीय संख्याओं के पहले अंक हैं। अतः a, c ∈ {1, 2, ..., 9}, और b ∈ {0, 1, ..., 9}।

शर्त 2: संख्या (100a + 10b + c) 7 से विभाज्य है। 7 के लिए विभाज्यता नियम का उपयोग करते हुए (100x + 10y + z, 7 से विभाज्य है यदि 2x + 3y + z, 7 से विभाज्य है), हमें प्राप्त होता है: 2a + 3b + c, 7 से विभाज्य होना चाहिए। (समीकरण 1)

शर्त 3: उलटी संख्या (100c + 10b + a) भी 7 से विभाज्य है। इसी प्रकार, 2c + 3b + a, 7 से विभाज्य होना चाहिए। (समीकरण 2)

समीकरण 1 से समीकरण 2 को घटाने पर: (2a + 3b + c) - (2c + 3b + a), 7 से विभाज्य होना चाहिए। (a - c), 7 से विभाज्य होना चाहिए।

चूंकि a और c, 1 से 9 तक के भिन्न अंक हैं, (a - c) के संभावित मान 7 या -7 हैं।

स्थिति 1: a - c = 7 इसका तात्पर्य है कि (a, c) या तो (8, 1) या (9, 2) हो सकता है। क) यदि (a, c) = (8, 1): समीकरण 1 (2a + 3b + c, 7 से विभाज्य है) में प्रतिस्थापित करने पर: 2(8) + 3b + 1 = 16 + 3b + 1 = 17 + 3b। 17 + 3b को 7 से विभाज्य होने के लिए, और यह जानते हुए कि 17 को 7 से विभाजित करने पर 3 शेष बचता है, हमें प्राप्त होता है: 3 + 3b, 7 से विभाज्य होना चाहिए, या 3(1 + b), 7 से विभाज्य होना चाहिए। चूंकि 3, 7 से विभाज्य नहीं है, इसलिए (1 + b) को 7 से विभाज्य होना चाहिए। b को एक अंक (0-9) होने के लिए, (1 + b) = 7, जिससे b = 6 प्राप्त होता है। अंक (8, 6, 1) हैं। वे सभी भिन्न हैं। संख्या 861 है। (861 / 7 = 123)। इसकी उलटी संख्या 168 है। (168 / 7 = 24)। यह एक मान्य संख्या है।

ख) यदि (a, c) = (9, 2): समीकरण 1 में प्रतिस्थापित करने पर: 2(9) + 3b + 2 = 18 + 3b + 2 = 20 + 3b। 20 + 3b को 7 से विभाज्य होने के लिए, और यह जानते हुए कि 20 को 7 से विभाजित करने पर 6 शेष बचता है, हमें प्राप्त होता है: 6 + 3b, 7 से विभाज्य होना चाहिए, या 3(2 + b), 7 से विभाज्य होना चाहिए। अतः, (2 + b) को 7 से विभाज्य होना चाहिए। b को एक अंक (0-9) होने के लिए, (2 + b) = 7, जिससे b = 5 प्राप्त होता है। अंक (9, 5, 2) हैं। वे सभी भिन्न हैं। संख्या 952 है। (952 / 7 = 136)। इसकी उलटी संख्या 259 है। (259 / 7 = 37)। यह एक मान्य संख्या है।

स्थिति 2: a - c = -7 (या c - a = 7) इसका तात्पर्य है कि (a, c) या तो (1, 8) या (2, 9) हो सकता है। क) यदि (a, c) = (1, 8): समीकरण 1 में प्रतिस्थापित करने पर: 2(1) + 3b + 8 = 2 + 3b + 8 = 10 + 3b। 10 + 3b को 7 से विभाज्य होने के लिए, और यह जानते हुए कि 10 को 7 से विभाजित करने पर 3 शेष बचता है, हमें प्राप्त होता है: 3 + 3b, 7 से विभाज्य होना चाहिए, या 3(1 + b), 7 से विभाज्य होना चाहिए। अतः, (1 + b) को 7 से विभाज्य होना चाहिए। b को एक अंक (0-9) होने के लिए, (1 + b) = 7, जिससे b = 6 प्राप्त होता है। अंक (1, 6, 8) हैं। वे सभी भिन्न हैं। संख्या 168 है। (168 / 7 = 24)। इसकी उलटी संख्या 861 है। (861 / 7 = 123)। यह एक मान्य संख्या है।

ख) यदि (a, c) = (2, 9): समीकरण 1 में प्रतिस्थापित करने पर: 2(2) + 3b + 9 = 4 + 3b + 9 = 13 + 3b। 13 + 3b को 7 से विभाज्य होने के लिए, और यह जानते हुए कि 13 को 7 से विभाजित करने पर 6 शेष बचता है, हमें प्राप्त होता है: 6 + 3b, 7 से विभाज्य होना चाहिए, या 3(2 + b), 7 से विभाज्य होना चाहिए। अतः, (2 + b) को 7 से विभाज्य होना चाहिए। b को एक अंक (0-9) होने के लिए, (2 + b) = 7, जिससे b = 5 प्राप्त होता है। अंक (2, 5, 9) हैं। वे सभी भिन्न हैं। संख्या 259 है। (259 / 7 = 37)। इसकी उलटी संख्या 952 है। (952 / 7 = 136)। यह एक मान्य संख्या है।

हमने 4 ऐसी संख्याएँ पाई हैं: 861, 952, 168, और 259।

अंतिम उत्तर B है।