श्रीमान 'X' की पिछले वर्ष की आयु एक संख्या का वर्ग थी और अगले वर्ष वह एक संख्या का घन होगी। उसे अपनी आयु के पुनः एक संख्या का घन बनने के लिए कम से कम कितने वर्ष प्रतीक्षा करनी होगी?

मान लीजिए श्रीमान 'X' की वर्तमान आयु A है। प्रश्न के अनुसार:

1. पिछले वर्ष उसकी आयु A-1 थी। यह एक संख्या का वर्ग थी। अतः, किसी पूर्णांक n के लिए, A-1 = n^2।
2. अगले वर्ष उसकी आयु A+1 होगी। यह एक संख्या का घन होगी। अतः, किसी पूर्णांक m के लिए, A+1 = m^3।

इन दो समीकरणों से, हम दूसरे में से पहले को घटा सकते हैं: (A+1) - (A-1) = m^3 - n^2 2 = m^3 - n^2

हमें m और n के ऐसे पूर्णांक मान ज्ञात करने हैं जो m^3 - n^2 = 2 को संतुष्ट करते हों। आइए छोटे पूर्णांक मानों का परीक्षण करें: यदि m=1, m^3=1। तब n^2 = 1-2 = -1 (वास्तविक n के लिए संभव नहीं)। यदि m=2, m^3=8। तब n^2 = 8-2 = 6 (पूर्ण वर्ग नहीं)। यदि m=3, m^3=27। तब n^2 = 27-2 = 25। यह एक पूर्ण वर्ग है (n=5)।

अतः, m=3 और n=5 एक मान्य हल है। यह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक हल है। श्रीमान 'X' की वर्तमान आयु (A) ज्ञात करने के लिए इन मानों का उपयोग करते हुए: A-1 = n^2 = 5^2 = 25 => A = 26 A+1 = m^3 = 3^3 = 27 => A = 26 दोनों समीकरण लगातार श्रीमान 'X' की वर्तमान आयु 26 बताते हैं।

अब, प्रश्न पूछता है: "उसे अपनी आयु के पुनः एक संख्या का घन बनने के लिए कम से कम कितने वर्ष प्रतीक्षा करनी होगी?" उसकी वर्तमान आयु 26 है। अगले वर्ष उसकी आयु 27 होगी, जो 3^3 (एक पूर्ण घन) है। "पुनः" शब्द का अर्थ है कि हम 27 के बाद अगले पूर्ण घन की तलाश कर रहे हैं। पूर्ण घनों की सूची बनाएं: 1^3 = 1 2^3 = 8 3^3 = 27 4^3 = 64 5^3 = 125

चूंकि अगले वर्ष उसकी आयु 27 (एक घन) होगी, 27 के बाद अगला घन 64 (जो 4^3 है) है। यह पता लगाने के लिए कि उसे अपनी वर्तमान आयु (26) से 64 तक पहुंचने के लिए कितने वर्ष प्रतीक्षा करनी होगी: प्रतीक्षा के वर्ष = 64 - 26 = 38 वर्ष।

विकल्पों का विश्लेषण: A) 42: गलत। B) 38: यह हमारे परिकलित मान से मेल खाता है। C) 25: गलत। यदि वह 25 वर्ष प्रतीक्षा करता है, तो उसकी आयु 26+25 = 51 होगी, जो एक घन नहीं है। D) 16: गलत। यदि वह 16 वर्ष प्रतीक्षा करता है, तो उसकी आयु 26+16 = 42 होगी, जो एक घन नहीं है।

अंतिम उत्तर B है।