एक 2-अंकीय संख्या को उलट दिया जाता है। दो संख्याओं में से बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित किया जाता है। सबसे बड़ा संभावित शेषफल क्या है?

मान लीजिए 2-अंकीय संख्या को 10a + b के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ 'a' दहाई का अंक (1-9) है और 'b' इकाई का अंक (0-9) है। उलटी हुई संख्या 10b + a है। इसे भी 2-अंकीय संख्या होने के लिए, 'b' गैर-शून्य (1-9) होना चाहिए। अतः, 'a' और 'b' दोनों 1 से 9 तक के अंक हैं।

हमें दो संख्याओं में से बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करना है और सबसे बड़ा संभावित शेषफल ज्ञात करना है। मान लीजिए N_बड़ी दो संख्याओं में से बड़ी संख्या है और N_छोटी छोटी संख्या है। विभाजन को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: N_बड़ी = Q * N_छोटी + R, जहाँ Q भागफल है और R शेषफल है। विभाजन का एक मौलिक गुण यह है कि शेषफल R भाजक N_छोटी से कम होना चाहिए (R b)। तब 10b + a छोटी संख्या है। R = (10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)। Q=1 के लिए, हमें 10a + b b और a b, a = 2। संख्या = 21, उलटी हुई = 12। बड़ी = 21, छोटी = 12। 21 / 12 = 1 शेषफल 9। (R = 9(2-1) = 9) 2. यदि b = 2: a b, अधिकतम a = 4। संख्या = 42, उलटी हुई = 24। बड़ी = 42, छोटी = 24। 42 / 24 = 1 शेषफल 18। (R = 9(4-2) = 18) 3. यदि b = 3: a b, अधिकतम a = 7। संख्या = 73, उलटी हुई = 37। बड़ी = 73, छोटी = 37। 73 / 37 = 1 शेषफल 36। (R = 9(7-3) = 36) 4. यदि b = 4: a b, अधिकतम a = 9। संख्या = 94, उलटी हुई = 49। बड़ी = 94, छोटी = 49। 94 / 49 = 1 शेषफल 45। (R = 9(9-4) = 45) 5. यदि b = 5: a b, अधिकतम a = 9। संख्या = 95, उलटी हुई = 59। बड़ी = 95, छोटी = 59। 95 / 59 = 1 शेषफल 36। (R = 9(9-5) = 36)

जैसे-जैसे 'b' आगे बढ़ता है, 'a-b' घटता है, जिससे Q=1 के लिए छोटे शेषफल प्राप्त होते हैं। जब Q=1 पाया गया अधिकतम शेषफल 45 है।

उन मामलों पर विचार करें जहाँ भागफल Q > 1 हो। यह तब होता है जब a >= 2.375b। उदाहरण के लिए:

• यदि a = 9, b = 3: (9 >= 2.375 * 3 = 7.125)। संख्या = 93, उलटी हुई = 39। बड़ी = 93, छोटी = 39। 93 / 39 = 2 शेषफल 15। (R = 15)
• यदि a = 9, b = 1: (9 >= 2.375 * 1 = 2.375)। संख्या = 91, उलटी हुई = 19। बड़ी = 91, छोटी = 19। 91 / 19 = 4 शेषफल 15। (R = 15)

उन मामलों में जहाँ Q > 1, छोटी संख्या (भाजक) छोटी होती है, जो अधिकतम संभावित शेषफल को सीमित करती है (चूँकि R 1 के लिए पाए गए शेषफल (जैसे, 15) 45 से कम हैं।

इस व्यवस्थित जाँच के माध्यम से पाया गया सबसे बड़ा शेषफल 45 है।

अंतिम उत्तर D है।