यदि 2 लड़कों और 2 लड़कियों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करना है कि लड़कियाँ एक-दूसरे के बगल में न हों, तो कितने संभावित विन्यास हैं?

प्रश्न में 2 लड़कों और 2 लड़कियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने की संख्या पूछी गई है, जिसमें लड़कियाँ एक-दूसरे के बगल में न हों। हम इसे पूरक गणना सिद्धांत का उपयोग करके हल कर सकते हैं: कुल विन्यास - ऐसे विन्यास जहाँ लड़कियाँ एक-दूसरे के बगल में हों = ऐसे विन्यास जहाँ लड़कियाँ एक-दूसरे के बगल में न हों। 1. कुल विन्यासों की संख्या की गणना करें: 4 भिन्न व्यक्ति (2 लड़के और 2 लड़कियाँ) हैं। उन्हें एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीकों की संख्या 4! (4 फैक्टोरियल) है। 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24। 2. उन विन्यासों की संख्या की गणना करें जहाँ दोनों लड़कियाँ एक-दूसरे के बगल में हैं: दोनों लड़कियों को एक इकाई (GG) मानें। अब हम 3 इकाइयों को व्यवस्थित कर रहे हैं: लड़का1, लड़का2, और (GG)। इन 3 इकाइयों को 3! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है = 3 x 2 x 1 = 6 तरीके। (GG) इकाई के भीतर, दोनों लड़कियाँ अपनी स्थिति बदल सकती हैं (लड़की1 लड़की2 या लड़की2 लड़की1)। इसलिए, उनकी ब्लॉक के भीतर लड़कियों को व्यवस्थित करने के 2! = 2 तरीके हैं। इसलिए, उन विन्यासों की संख्या जहाँ लड़कियाँ एक साथ हैं, 3! * 2! = 6 * 2 = 12 है। 3. वांछित विन्यासों को खोजने के लिए घटाएँ: ऐसे विन्यासों की संख्या जहाँ लड़कियाँ एक-दूसरे के बगल में न हों = कुल विन्यास - ऐसे विन्यास जहाँ लड़कियाँ एक-दूसरे के बगल में हों = 24 - 12 = 12। वैकल्पिक रूप से, पहले लड़कों को रखकर: 1. 2 लड़कों को व्यवस्थित करें: B B। उन्हें व्यवस्थित करने के 2! = 2 तरीके हैं (जैसे, B1B2 या B2B1)। 2. अब, लड़कों के चारों ओर और उनके बीच स्थान बनाएँ: _ B _ B _। 3 संभावित स्थान हैं (अंडरस्कोर द्वारा इंगित) जहाँ लड़कियों को रखा जा सकता है ताकि वे एक-दूसरे के बगल में न हों। 3. हमें 2 लड़कियों के लिए इन 3 स्थानों में से 2 को चुनना होगा। यह C(3, 2) = 3 तरीकों से किया जा सकता है। 4. एक बार 2 स्थान चुन लिए जाने के बाद, 2 लड़कियों को उन 2 स्थानों में 2! = 2 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। 5. तो, लड़कों के प्रत्येक विन्यास के लिए, लड़कियों को रखने के C(3, 2) * 2! = 3 * 2 = 6 तरीके हैं। 6. कुल विन्यास = (लड़कों को व्यवस्थित करने के तरीके) * (लड़कियों को रखने के तरीके) = 2 * 6 = 12। दोनों विधियों से 12 प्राप्त होता है। विकल्प विश्लेषण: A) 3: गलत। B) 6: गलत। यह उत्तर तब होता जब लड़कियाँ समान होतीं और लड़कों के एक विशिष्ट विन्यास के चारों ओर रखी जातीं, या यदि बाधाएँ कम होतीं। C) 12: सही। D) 24: गलत। यह बिना किसी प्रतिबंध के कुल विन्यासों की संख्या है। अंतिम उत्तर C है।