यदि आपके पास 7.5 फीट और 3.25 फीट लंबाई की दो सीधी छड़ें हैं, तो आप न्यूनतम कितनी लंबाई माप सकते हैं?

प्रश्न में दी गई लंबाइयों की दो छड़ों का उपयोग करके मापी जा सकने वाली न्यूनतम लंबाई पूछी गई है। यह दो लंबाइयों के महत्तम समापवर्तक (GCD) ज्ञात करने का एक उत्कृष्ट अनुप्रयोग है। GCD सबसे छोटी धनात्मक लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है जिसे दी गई लंबाइयों को बार-बार जोड़कर या घटाकर बनाया जा सकता है।

दी गई लंबाइयाँ: छड़ 1 = 7.5 फीट छड़ 2 = 3.25 फीट

इन दशमलव संख्याओं का GCD ज्ञात करने के लिए, हम उन्हें एक गुणक (इस मामले में, दो दशमलव स्थानों को हटाने के लिए 100) से गुणा करके पूर्णांकों में परिवर्तित कर सकते हैं, पूर्णांकों का GCD ज्ञात कर सकते हैं, और फिर परिणाम को उसी गुणक से वापस विभाजित कर सकते हैं।

1. पूर्णांकों में परिवर्तित करें: 7.5 फीट * 100 = 750 3.25 फीट * 100 = 325

2. यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके 750 और 325 का GCD ज्ञात करें:

   • 750 = 2 * 325 + 100
   • 325 = 3 * 100 + 25
   • 100 = 4 * 25 + 0 अंतिम गैर-शून्य शेष 25 है। अतः, GCD(750, 325) = 25।

3. मूल लंबाइयों का GCD प्राप्त करने के लिए GCD को गुणक (100) से विभाजित करें: GCD(7.5, 3.25) = 25 / 100 = 0.25 फीट।

इसका मतलब है कि मापी जा सकने वाली न्यूनतम लंबाई 0.25 फीट है।

विकल्पों का विश्लेषण: A) 0.05 फुट: यद्यपि 0.05, 7.5 और 3.25 का एक सामान्य भाजक है (7.5 = 150 * 0.05, 3.25 = 65 * 0.05), यह महत्तम सामान्य भाजक नहीं है, और इसलिए छड़ों का उपयोग करके उत्पन्न की जा सकने वाली न्यूनतम लंबाई नहीं है। GCD विधि सबसे छोटी इकाई ज्ञात करती है जिसे बनाया जा सकता है। B) 0.25 फुट: यह हमारे परिकलित GCD से मेल खाता है। हम इसे मापने का तरीका प्रदर्शित कर सकते हैं:

• 7.5 फीट की छड़ का उपयोग करके दो 3.25 फीट लंबाई के निशान लगाएं: 7.5 - (2 * 3.25) = 7.5 - 6.5 = 1 फुट। अब हमारे पास 1 फुट की मापी जा सकने वाली लंबाई है।
• 3.25 फीट की छड़ का उपयोग करके तीन 1 फुट लंबाई के निशान लगाएं: 3.25 - (3 * 1) = 3.25 - 3 = 0.25 फुट। इस प्रकार, 0.25 फुट मापा जा सकता है। C) 1 फुट: जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, 1 फुट मापा जा सकता है, लेकिन यह न्यूनतम संभव लंबाई नहीं है, क्योंकि 0.25 फुट छोटी है और मापी भी जा सकती है। D) 3.25 फुट: यह दी गई छड़ की लंबाइयों में से एक है, इसलिए इसे मापा जा सकता है, लेकिन यह न्यूनतम नहीं है।

अंतिम उत्तर B है।