जब 51 × 27 × 35 × 62 × 75 को 100 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल क्या होगा?

51 x 27 x 35 x 62 x 75 को 100 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, हमें (51 x 27 x 35 x 62 x 75) mod 100 ज्ञात करना होगा।

1. 100 के गुणनखंडों की पहचान करें: 100 = 2 x 2 x 5 x 5।
2. दी गई संख्याओं में 2 और 5 के गुणनखंडों की तलाश करें:
   • 35 = 5 x 7
   • 62 = 2 x 31
   • 75 = 3 x 25 = 3 x 5 x 5
3. 100 या 100 के गुणज बनाने वाले उभयनिष्ठ गुणनखंडों को निकालें: संख्याओं 35, 62, और 75 से, हम निकाल सकते हैं:
   • 62 से एक '2'।
   • 35 से एक '5'।
   • 75 से दो '5'। इन निकाले गए गुणनखंडों को गुणा करने पर: 2 x 5 x 5 x 5 = 250। इसका मतलब है कि पूरा गुणनफल 250 का गुणज है।
4. गुणनफल को फिर से लिखें: गुणनफल P = 51 x 27 x 35 x 62 x 75 को P = K x 250 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ K शेष गुणनखंडों का गुणनफल है: K = 51 x 27 x 7 x 31 x 3।
5. P का 100 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करें: हमें (K x 250) mod 100 ज्ञात करना है। सबसे पहले, 250 mod 100 ज्ञात करें: 250 = 2 x 100 + 50, इसलिए 250 mod 100 = 50। अतः, (K x 250) mod 100 = (K x 50) mod 100।
6. निर्धारित करें कि K सम है या विषम: K = 51 x 27 x 7 x 31 x 3। ये सभी संख्याएँ विषम हैं। विषम संख्याओं का गुणनफल हमेशा विषम होता है। इसलिए, K एक विषम संख्या है।
7. अंतिम शेषफल की गणना करें: यदि K विषम है, तो मान लीजिए K = 2m + 1 किसी पूर्णांक m के लिए। तब (K x 50) mod 100 = ((2m + 1) x 50) mod 100 = (100m + 50) mod 100। चूंकि 100m, 100 का गुणज है, (100m + 50) mod 100 = 50।

वैकल्पिक रूप से, हम चरण-दर-चरण गुणा करके शेषफल ले सकते हैं: (51 x 27) mod 100 = 1377 mod 100 = 77 (35 x 62) mod 100 = 2170 mod 100 = 70 अब हमारे पास (77 x 70 x 75) mod 100 है। (77 x 70) mod 100 = 5390 mod 100 = 90 अब हमारे पास (90 x 75) mod 100 है। (90 x 75) = 6750। 6750 mod 100 = 50।

दोनों विधियों से समान परिणाम प्राप्त होता है।

अंतिम उत्तर A) 50 है।