n के किस मान के लिए, संख्या (10n + 1) में अंकों का योग 2 है?

इस संदर्भ में (10n + 1) संकेतन को सामान्यतः 10 की घात n, धन 1 (अर्थात, 10^n + 1) के रूप में समझा जाता है। आइए इस व्यंजक के लिए अंकों के योग का विश्लेषण करें:

1. n = 0 के लिए: संख्या (10^0 + 1) = (1 + 1) = 2 है। 2 में अंकों का योग 2 है। अतः, n=0 मान्य है।

2. n = 1 के लिए: संख्या (10^1 + 1) = (10 + 1) = 11 है। अंकों का योग 1 + 1 = 2 है। अतः, n=1 मान्य है।

3. n = 2 के लिए: संख्या (10^2 + 1) = (100 + 1) = 101 है। अंकों का योग 1 + 0 + 1 = 2 है। अतः, n=2 मान्य है।

4. किसी भी धनात्मक पूर्णांक n (n >= 1) के लिए: संख्या 10^n एक '1' है जिसके बाद 'n' शून्य हैं (उदाहरण के लिए, 10, 100, 1000...)। इस संख्या में 1 जोड़ने पर एक ऐसी संख्या प्राप्त होती है जो '1' से शुरू होती है, बीच में (n-1) शून्य होते हैं, और '1' पर समाप्त होती है (उदाहरण के लिए, 11, 101, 1001...)। अंकों का योग हमेशा 1 + 0 + ... + 0 + 1 = 2 होगा।

इन अवलोकनों को मिलाकर, n=0 के लिए और किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए अंकों का योग 2 है। पूर्ण संख्याओं में 0 और सभी धनात्मक पूर्णांक (0, 1, 2, 3...) शामिल हैं। इसलिए, यह शर्त किसी भी पूर्ण संख्या n के लिए मान्य है।

आइए विकल्पों का विश्लेषण करें: A) केवल n = 0 के लिए: गलत, क्योंकि यह किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए भी मान्य है। B) किसी भी पूर्ण संख्या n के लिए: सही, जैसा कि ऊपर दर्शाया गया है (n=0 और सभी धनात्मक पूर्णांक मान्य हैं)। C) केवल किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए: गलत, क्योंकि n=0 भी शर्त को संतुष्ट करता है। D) किसी भी वास्तविक संख्या n के लिए: गलत। "अंकों का योग" की अवधारणा सामान्यतः पूर्णांकों पर लागू होती है। गैर-पूर्णांक वास्तविक संख्याओं के लिए, यह इस संदर्भ में अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।

अंतिम उत्तर B है।