सेंट्रल हाई स्कूल के जीव विज्ञान वर्ग ने भविष्यवाणी की है कि जानवरों की एक स्थानीय आबादी हर 12 साल में दोगुनी हो जाएगी। 2021 की शुरुआत में आबादी का अनुमान 50 जानवर लगाया गया था। यदि P, 2021 के बाद n वर्षों में जनसंख्या का प्रतिनिधित्व करता है, तो निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण समय के साथ जनसंख्या के वर्ग मॉडल का प्रतिनिधित्व करता है?

समस्या घातांकीय वृद्धि का वर्णन करती है, जहाँ जनसंख्या हर 12 साल में दोगुनी हो जाती है। प्रारंभिक जनसंख्या 50 है।

1. वृद्धि के प्रकार की पहचान करें: "हर 12 साल में आकार दोगुना हो जाता है" वाक्यांश घातांकीय वृद्धि को इंगित करता है, रैखिक वृद्धि को नहीं।
2. घातांकीय वृद्धि का सामान्य रूप: 'd' समय इकाइयों में दोगुनी होने वाली जनसंख्या के लिए, सूत्र P = P0 * (2)^(t/d) है, जहाँ P0 प्रारंभिक जनसंख्या है, t बीता हुआ समय है, और d दोगुना होने की अवधि है।
3. दिए गए मानों को लागू करें:
   • प्रारंभिक जनसंख्या (P0) = 50
   • दोगुना होने की अवधि (d) = 12 वर्ष
   • बीता हुआ समय (t) = n वर्ष
4. इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: P = 50 * (2)^(n/12)।

विकल्पों का मूल्यांकन करें: A) P = 12 + 50n: यह रैखिक वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है। यदि n=0, P=12, जो गलत है क्योंकि प्रारंभिक जनसंख्या 50 है। B) P = 50 + 12n: यह भी रैखिक वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है। यदि n=12, P = 50 + 1212 = 194। हालांकि, 12 साल बाद, जनसंख्या 502 = 100 तक दोगुनी हो जानी चाहिए। इसलिए, यह गलत है। C) P = 50(2)^12n: यह एक घातांकीय मॉडल है, लेकिन घातांक गलत है। यदि n=12, P = 50(2)^(1212) = 50(2)^144, जो एक अत्यंत बड़ी संख्या है, 100 नहीं। यह मॉडल प्रति वर्ष 12 बार दोगुना होने का संकेत देगा, या बहुत तेज वृद्धि दर का। D) P = 50(2)^(n/12): यह व्युत्पन्न घातांकीय वृद्धि सूत्र से मेल खाता है। * यदि n=0 (2021 की शुरुआत), P = 50(2)^(0/12) = 50(2)^0 = 501 = 50। (सही प्रारंभिक जनसंख्या) * यदि n=12 (12 साल बाद), P = 50(2)^(12/12) = 50(2)^1 = 50*2 = 100। (सही दोगुना)

इसलिए, विकल्प D समय के साथ जनसंख्या के वर्ग मॉडल का सही प्रतिनिधित्व करता है।

अंतिम उत्तर D है