एक डिब्बे में 14 काले गेंदें, 20 नीली गेंदें, 26 हरी गेंदें, 28 पीली गेंदें, 38 लाल गेंदें और 54 सफेद गेंदें हैं। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें: I. सबसे छोटी संख्या n जिसके लिए डिब्बे से यादृच्छिक रूप से निकाली गई किसी भी n गेंदों में कम से कम एक रंग का एक पूरा समूह होना चाहिए, 175 है। II. सबसे छोटी संख्या m जिसके लिए डिब्बे से यादृच्छिक रूप से निकाली गई किसी भी m गेंदों में प्रत्येक रंग की कम से कम एक गेंद होनी चाहिए, 167 है। उपरोक्त कथनों में से कौन सा/से सही है/हैं?

इस समस्या को हल करने के लिए, हम सबसे खराब स्थिति दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं।

कुल गेंदें: 14 काले, 20 नीले, 26 हरे, 28 पीले, 38 लाल और 54 सफेद। कुल योग 180 है।

कथन 1: n ज्ञात करने के लिए जिसके लिए हमें कम से कम एक रंग का एक पूरा समूह होना चाहिए, हम सबसे खराब स्थिति पर विचार करते हैं जहां हम प्रत्येक समूह को पूरा करने से ठीक एक गेंद कम हैं। इस मामले में, हम निकालते हैं: 13 काले, 19 नीले, 25 हरे, 27 पीले, 37 लाल और 53 सफेद। योग = 13 + 19 + 25 + 27 + 37 + 53 = 174 गेंदें। अगली गेंद (175वीं गेंद) निश्चित रूप से एक रंग समूह को पूरा कर देगी। इसलिए, n 175 है। कथन 1 सही है।

कथन 2: m ज्ञात करने के लिए जिसके लिए हमें प्रत्येक रंग की कम से कम एक गेंद होनी चाहिए, हम सबसे खराब स्थिति पर विचार करते हैं जहां हम पहले पांच सबसे बड़े समूहों की प्रत्येक गेंद को चुनते हैं, लेकिन सबसे छोटे समूह की कोई भी गेंद नहीं। घटते क्रम में समूह हैं: 54 सफेद, 38 लाल, 28 पीले, 26 हरे, 20 नीले और 14 काले। पांच सबसे बड़े समूहों का योग = 54 + 38 + 28 + 26 + 20 = 166 गेंदें। इस बिंदु पर, हमारे पास 166 गेंदें हैं लेकिन अभी भी कोई काली गेंद नहीं है। 167वीं गेंद निश्चित रूप से काली होनी चाहिए, यह सुनिश्चित करते हुए कि हमारे पास प्रत्येक रंग की कम से कम एक गेंद है। इसलिए, m 167 है। कथन 2 सही है।

चूंकि दोनों कथन सही हैं, उत्तर C है।