एक मूलधन P, 1 वर्ष में R% वार्षिक ब्याज दर पर अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित होने पर Q हो जाता है। यदि वही मूलधन P, 1 वर्ष में S% वार्षिक ब्याज दर पर वार्षिक रूप से संयोजित होने पर Q हो जाता है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

यहां मुख्य अवधारणा प्रभावी वार्षिक ब्याज दर है। 1. **परिदृश्य 1 (R% वार्षिक दर पर अर्ध-वार्षिक संयोजन):** जब ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो ब्याज वर्ष में दो बार गणना की जाती है। R% की वार्षिक दर के लिए, प्रति अर्ध-वर्ष लागू दर R/2% है। 1 वर्ष के बाद राशि Q निम्न द्वारा दी जाती है: Q = P * (1 + (R/2)/100)^2 = P * (1 + R/200)^2 2. **परिदृश्य 2 (S% वार्षिक दर पर वार्षिक संयोजन):** जब ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो ब्याज वर्ष में एक बार गणना की जाती है। S% की वार्षिक दर के लिए, प्रति वर्ष लागू दर S% है। 1 वर्ष के बाद राशि Q निम्न द्वारा दी जाती है: Q = P * (1 + S/100)^1 = P * (1 + S/100) 3. **राशियों को बराबर करना:** चूंकि P दोनों मामलों में 1 वर्ष में Q हो जाता है, अंतिम राशियाँ बराबर हैं: P * (1 + R/200)^2 = P * (1 + S/100) (1 + R/200)^2 = (1 + S/100) 4. **विश्लेषण:** * पद (1 + S/100) दर S पर वार्षिक संयोजन के साथ एक वर्ष के लिए वृद्धि कारक का प्रतिनिधित्व करता है। यह प्रभावी वार्षिक वृद्धि कारक है। * पद (1 + R/200)^2 वार्षिक दर R पर अर्ध-वार्षिक संयोजन के साथ एक वर्ष के लिए वृद्धि कारक का प्रतिनिधित्व करता है। यह भी प्रभावी वार्षिक वृद्धि कारक है। * किसी भी धनात्मक ब्याज दर के लिए, अधिक बार (अर्ध-वार्षिक) संयोजित करने पर, समान नाममात्र वार्षिक दर के लिए, कम बार (वार्षिक) संयोजित करने की तुलना में एक उच्च प्रभावी वार्षिक दर प्राप्त होती है। * हालांकि, इस समस्या में, प्रभावी वार्षिक वृद्धि (P का Q होना) दोनों परिदृश्यों के लिए समान है। * अधिक बार संयोजन (R के लिए अर्ध-वार्षिक) के साथ समान प्रभावी वार्षिक वृद्धि प्राप्त करने के लिए, नाममात्र वार्षिक दर (R) कम बार संयोजन (S के लिए वार्षिक) के लिए नाममात्र वार्षिक दर (S) से कम होनी चाहिए। * गणितीय रूप से, (1 + R/200)^2 का विस्तार करने पर 1 + 2(R/200) + (R/200)^2 = 1 + R/100 + R^2/40000 प्राप्त होता है। * तो, 1 + R/100 + R^2/40000 = 1 + S/100 * R/100 + R^2/40000 = S/100 * S = R + R^2/400 (100 से गुणा करने पर) * चूंकि R एक धनात्मक ब्याज दर है, R^2/400 एक धनात्मक मान होगा। * इसलिए, S, R से अधिक होना चाहिए (S > R), जिसका अर्थ है R < S। **निष्कर्ष:** समान समय में समान राशि तक बढ़ने के लिए समान मूलधन के लिए, यदि एक परिदृश्य में अधिक बार संयोजन शामिल है, तो उसकी नाममात्र वार्षिक दर कम बार संयोजित परिदृश्य की नाममात्र वार्षिक दर से कम होनी चाहिए। अंतिम उत्तर C) R < S है।