कितनी प्राकृतिक संख्याएँ ऐसी हैं जिनसे 1186 को विभाजित करने पर शेषफल 31 प्राप्त होता है?

जब 1186 को एक प्राकृतिक संख्या 'd' से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 31 होता है। विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, हम लिख सकते हैं: 1186 = d * q + 31 जहाँ 'q' भागफल है और 'd' भाजक है। विभाजन के लिए एक महत्वपूर्ण शर्त यह है कि भाजक 'd' शेषफल से बड़ा होना चाहिए। अतः, d > 31। समीकरण से, दोनों पक्षों से 31 घटाने पर: 1186 - 31 = d * q 1155 = d * q इसका मतलब है कि 'd', 1155 का एक भाजक होना चाहिए। हमें 1155 के उन सभी प्राकृतिक संख्या भाजकों को ज्ञात करना है जो 31 से बड़े हैं। सबसे पहले, 1155 का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें: 1155 = 3 * 5 * 7 * 11 1155 के भाजकों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इसके अभाज्य गुणनखंडों के घातांकों का उपयोग करते हैं। चूँकि प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड (3, 5, 7, 11) का घातांक 1 है, भाजकों की कुल संख्या (1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 2 * 2 * 2 * 2 = 16 है। अब, हमें इन 16 भाजकों को फ़िल्टर करने की आवश्यकता है ताकि केवल वे ही शामिल हों जो 31 से बड़े हैं। उन भाजकों को सूचीबद्ध करना आसान है जो 31 से बड़े नहीं हैं (अर्थात, 31 से कम या उसके बराबर) और उन्हें कुल संख्या से घटाना है। 1155 के भाजक हैं: 1, 3, 5, 7, 11, 15 (3*5), 21 (3*7), 33 (3*11), 35 (5*7), 55 (5*11), 77 (7*11), 105 (3*5*7), 165 (3*5*11), 231 (3*7*11), 385 (5*7*11), 1155 (3*5*7*11)। 31 से कम या उसके बराबर भाजक हैं: 1, 3, 5, 7, 11, 15, 21। ऐसे 7 भाजक हैं। उन प्राकृतिक संख्याओं 'd' की संख्या जो शर्तों को पूरा करती हैं (d, 1155 का भाजक है और d > 31) है: भाजकों की कुल संख्या - 31 से कम या उसके बराबर भाजकों की संख्या = 16 - 7 = 9 इस प्रकार, ऐसी 9 प्राकृतिक संख्याएँ हैं। अंतिम उत्तर D है।