एक परीक्षा में, चार प्रश्नपत्रों P, Q, R और S में से प्रत्येक के लिए अधिकतम अंक 100 हैं। छात्रों द्वारा प्राप्त अंक पूर्णांकों में हैं। एक छात्र n विभिन्न तरीकों से 99% अंक प्राप्त कर सकता है। n का मान क्या है?

चार प्रश्नपत्रों (P, Q, R, S) में से प्रत्येक के लिए अधिकतम अंक 100 हैं। परीक्षा के लिए कुल अधिकतम अंक = 4 प्रश्नपत्र * 100 अंक/प्रश्नपत्र = 400 अंक। परीक्षा में 99% अंक प्राप्त करने के लिए, छात्र को प्राप्त करने की आवश्यकता है: 400 अंकों का 99% = (99/100) * 400 = 396 अंक। मान लीजिए कि चार प्रश्नपत्रों में प्राप्त अंक क्रमशः p, q, r, और s हैं। हम जानते हैं कि 0 <= p, q, r, s <= 100 (अंक पूर्णांक हैं और अधिकतम से अधिक नहीं हो सकते)। अंकों का योग 396 होना चाहिए: p + q + r + s = 396। ऊपरी सीमाओं के साथ इस समीकरण को सीधे हल करने के बजाय, अधिकतम संभव स्कोर से "खोए हुए अंकों" पर विचार करना सरल है। अधिकतम संभव स्कोर 100 + 100 + 100 + 100 = 400 है। छात्र ने 396 अंक प्राप्त किए। इसलिए, छात्र द्वारा चारों प्रश्नपत्रों में खोए गए कुल अंक = 400 - 396 = 4 अंक। मान लीजिए x1 प्रश्नपत्र P में खोए गए अंक हैं (अर्थात, 100 - p)। मान लीजिए x2 प्रश्नपत्र Q में खोए गए अंक हैं (अर्थात, 100 - q)। मान लीजिए x3 प्रश्नपत्र R में खोए गए अंक हैं (अर्थात, 100 - r)। मान लीजिए x4 प्रश्नपत्र S में खोए गए अंक हैं (अर्थात, 100 - s)। चूंकि 0 <= p, q, r, s <= 100, इसका तात्पर्य है कि 0 <= x1, x2, x3, x4 <= 100। खोए गए अंकों का योग है: x1 + x2 + x3 + x4 = (100 - p) + (100 - q) + (100 - r) + (100 - s) x1 + x2 + x3 + x4 = 400 - (p + q + r + s) x1 + x2 + x3 + x4 = 400 - 396 x1 + x2 + x3 + x4 = 4 हमें इस समीकरण के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करनी है। ऊपरी सीमा की बाधा (x_i <= 100) स्वतः संतुष्ट हो जाती है क्योंकि योग केवल 4 है, इसलिए कोई भी व्यक्तिगत x_i, 4 से अधिक नहीं हो सकता। यह एक क्लासिक स्टार्स एंड बार्स समस्या है। x1 + x2 + ... + xk = n के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या सूत्र (n + k - 1) C (k - 1) द्वारा दी जाती है। यहां, n = 4 (खोए गए अंकों का योग) और k = 4 (प्रश्नपत्रों/चरों की संख्या)। हलों की संख्या = (4 + 4 - 1) C (4 - 1) = 7 C 3 = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35 इसलिए, एक छात्र 35 विभिन्न तरीकों से 99% अंक प्राप्त कर सकता है। अंतिम उत्तर D है।