2 ग्राम, 5 ग्राम, 10 ग्राम, 25 ग्राम, 50 ग्राम प्रत्येक के चांदी के सिक्कों की एक बड़ी संख्या उपलब्ध है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें: 1. 78 ग्राम सिक्के खरीदने के लिए कम से कम 7 सिक्के खरीदने होंगे। 2. इन सिक्कों का उपयोग करके 78 ग्राम तौलने के लिए 7 से कम सिक्कों का उपयोग किया जा सकता है। उपरोक्त कथनों में से कौन सा/से सही है/हैं?

प्रश्न में हमें 2 ग्राम, 5 ग्राम, 10 ग्राम, 25 ग्राम और 50 ग्राम के चांदी के सिक्कों का उपयोग करके कुल 78 ग्राम का वजन बनाने से संबंधित दो कथनों का मूल्यांकन करने के लिए कहा गया है। कथन 1: "78 ग्राम सिक्के खरीदने के लिए कम से कम 7 सिक्के खरीदने होंगे।" इस कथन का तात्पर्य उन सिक्कों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करना है जिनका कुल वजन ठीक 78 ग्राम हो। सिक्कों की संख्या को कम करने के लिए, हमें बड़े मूल्यवर्ग के सिक्कों के उपयोग को प्राथमिकता देनी चाहिए। आइए सबसे कम सिक्कों से 78 ग्राम बनाने का प्रयास करें: सबसे बड़े सिक्के से शुरू करें: 1 x 50 ग्राम = 50 ग्राम। शेष आवश्यक वजन = 78 - 50 = 28 ग्राम। (1 सिक्का प्रयुक्त) अब हमें शेष सिक्कों (2, 5, 10, 25) से 28 ग्राम बनाने की आवश्यकता है। 25 ग्राम का उपयोग करने का प्रयास करें: 1 x 25 ग्राम = 25 ग्राम। शेष आवश्यक वजन = 28 - 25 = 3 ग्राम। (अब तक 2 सिक्के प्रयुक्त) हम केवल 2 ग्राम और 5 ग्राम के सिक्कों का उपयोग करके 3 ग्राम नहीं बना सकते। इसलिए, यह मार्ग (50+25) सीधे काम नहीं करता है। आइए 28 ग्राम के लिए एक और संयोजन का प्रयास करें: 28 ग्राम के लिए 10 ग्राम के सिक्कों का उपयोग करें: 2 x 10 ग्राम = 20 ग्राम। शेष आवश्यक वजन = 28 - 20 = 8 ग्राम। (अब तक 1 + 2 = 3 सिक्के प्रयुक्त) अब हमें 2 ग्राम और 5 ग्राम के सिक्कों का उपयोग करके 8 ग्राम बनाने की आवश्यकता है। 2 ग्राम के सिक्कों का उपयोग करें: 4 x 2 ग्राम = 8 ग्राम। (अब तक 3 + 4 = 7 सिक्के प्रयुक्त) तो, 50 ग्राम + 10 ग्राम + 10 ग्राम + 2 ग्राम + 2 ग्राम + 2 ग्राम + 2 ग्राम = 78 ग्राम। यह संयोजन 7 सिक्कों का उपयोग करता है। यह पुष्टि करने के लिए कि यह न्यूनतम है, हम व्यवस्थित रूप से जांच कर सकते हैं कि क्या 6 सिक्के संभव हैं। उपलब्ध मूल्यवर्ग का उपयोग करके 6 सिक्कों के साथ अधिकतम वजन 6x50=300 से कम है, लेकिन हमें विशेष रूप से 78 ग्राम के लिए जांच करने की आवश्यकता है। यदि हम एक 50 ग्राम का सिक्का उपयोग करते हैं, तो हमें 5 सिक्कों से 28 ग्राम की आवश्यकता है। - 28 ग्राम के लिए एक 25 ग्राम का सिक्का उपयोग करना: 25 ग्राम + 3 ग्राम (4 सिक्कों से)। 3 ग्राम बनाना असंभव है। - 28 ग्राम के लिए दो 10 ग्राम के सिक्के उपयोग करना: 20 ग्राम + 8 ग्राम (3 सिक्कों से)। 3 सिक्कों से 8 ग्राम बनाना असंभव है (उदाहरण के लिए, 5+2+2=9, 2+2+2=6)। यदि हम 50 ग्राम का सिक्का उपयोग नहीं करते हैं, तो हमें 6 सिक्कों से 78 ग्राम की आवश्यकता है। 25 ग्राम के सिक्कों से अधिकतम: 3x25=75। शेष 3 ग्राम 3 सिक्कों से। असंभव। एक विस्तृत जांच से पता चलता है कि 6 सिक्के 78 ग्राम के बराबर नहीं हो सकते। इसलिए, आवश्यक सिक्कों की न्यूनतम संख्या 7 है। कथन 1 सही है। कथन 2: "इन सिक्कों का उपयोग करके 78 ग्राम तौलने के लिए 7 से कम सिक्कों का उपयोग किया जा सकता है।" इस कथन का तात्पर्य तराजू का उपयोग करना है, जहाँ अज्ञात वजन को संतुलित करने के लिए सिक्कों को दोनों तरफ रखा जा सकता है। यदि एक तरफ तौलने वाली वस्तु (X) है, और उसी तरफ सिक्के (C_left) हैं, और दूसरी तरफ अन्य सिक्के (C_right) हैं, तो संतुलन समीकरण है: X + C_left = C_right X = C_right - C_left हमें सिक्कों का एक संयोजन (C_right) और एक अन्य संयोजन (C_left) खोजने की आवश्यकता है ताकि उनका अंतर 78 ग्राम हो, और उपयोग किए गए सिक्कों की कुल संख्या (C_right में सिक्कों की संख्या + C_left में सिक्कों की संख्या) 7 से कम हो। आइए ऐसा संयोजन खोजने का प्रयास करें: हमें C_right - C_left = 78 की आवश्यकता है। C_right = 50 ग्राम + 25 ग्राम + 5 ग्राम = 80 ग्राम पर विचार करें। यह 3 सिक्कों का उपयोग करता है। अब, यदि हम C_left = 2 ग्राम सेट करते हैं। यह 1 सिक्के का उपयोग करता है। तब C_right - C_left = 80 ग्राम - 2 ग्राम = 78 ग्राम। उपयोग किए गए सिक्कों की कुल संख्या 3 (C_right के लिए) + 1 (C_left के लिए) = 4 सिक्के है। चूंकि 4, 7 से कम है, इसलिए 7 से कम सिक्कों का उपयोग करके 78 ग्राम तौलना संभव है। उदाहरण के लिए, तौलने वाली वस्तु और एक 2 ग्राम का सिक्का एक पलड़े पर रखें, और दूसरे पलड़े पर 50 ग्राम, 25 ग्राम, 5 ग्राम के सिक्के रखें। पैमाना संतुलित हो जाएगा। कथन 2 सही है। चूंकि दोनों कथन सही हैं, विकल्प C सही उत्तर है। अंतिम उत्तर C है।