पांच व्यक्ति P, Q, R, S और T हैं, जिनमें से प्रत्येक को एक कार्य सौंपा जाना है। न तो P को और न ही Q को कार्य-1 सौंपा जा सकता है। कार्य-2 या तो R या S को सौंपा जाना चाहिए। असाइनमेंट कितने तरीकों से किया जा सकता है?

यह बाधाओं के साथ क्रमचय (permutations) की एक समस्या है। दी गई शर्तों के आधार पर असाइनमेंट प्रक्रिया को चरण-दर-चरण तोड़ते हैं: 1. **कार्य-2 पर बाधा:** कार्य-2 या तो R या S को सौंपा जाना चाहिए। इससे हमें दो मुख्य स्थितियाँ मिलती हैं: * **स्थिति 1: R को कार्य-2 सौंपा गया है।** यदि R को कार्य-2 मिलता है, तो R और कार्य-2 निश्चित हैं। शेष व्यक्ति: P, Q, S, T शेष कार्य: कार्य-1, कार्य-3, कार्य-4, कार्य-5 अब, कार्य-1 पर बाधा पर विचार करें: न तो P को और न ही Q को कार्य-1 सौंपा जा सकता है। चूंकि R को पहले से ही कार्य-2 सौंपा गया है, कार्य-1 या तो S या T को सौंपा जाना चाहिए। (2 विकल्प) * **उप-स्थिति 1.1: S को कार्य-1 सौंपा गया है।** यदि S को कार्य-1 मिलता है (और R को कार्य-2 मिलता है), तो S, R, कार्य-1, कार्य-2 निश्चित हैं। शेष व्यक्ति: P, Q, T शेष कार्य: कार्य-3, कार्य-4, कार्य-5 इन 3 व्यक्तियों को शेष 3 कार्यों में 3! = 3 x 2 x 1 = 6 तरीकों से सौंपा जा सकता है। * **उप-स्थिति 1.2: T को कार्य-1 सौंपा गया है।** यदि T को कार्य-1 मिलता है (और R को कार्य-2 मिलता है), तो T, R, कार्य-1, कार्य-2 निश्चित हैं। शेष व्यक्ति: P, Q, S शेष कार्य: कार्य-3, कार्य-4, कार्य-5 इन 3 व्यक्तियों को शेष 3 कार्यों में 3! = 3 x 2 x 1 = 6 तरीकों से सौंपा जा सकता है। स्थिति 1 (R को कार्य-2 सौंपा गया) के लिए कुल तरीके = 6 + 6 = 12 तरीके। * **स्थिति 2: S को कार्य-2 सौंपा गया है।** यदि S को कार्य-2 मिलता है, तो S और कार्य-2 निश्चित हैं। शेष व्यक्ति: P, Q, R, T शेष कार्य: कार्य-1, कार्य-3, कार्य-4, कार्य-5 फिर से, कार्य-1 पर बाधा पर विचार करें: न तो P को और न ही Q को कार्य-1 सौंपा जा सकता है। चूंकि S को पहले से ही कार्य-2 सौंपा गया है, कार्य-1 या तो R या T को सौंपा जाना चाहिए। (2 विकल्प) * **उप-स्थिति 2.1: R को कार्य-1 सौंपा गया है।** यदि R को कार्य-1 मिलता है (और S को कार्य-2 मिलता है), तो R, S, कार्य-1, कार्य-2 निश्चित हैं। शेष व्यक्ति: P, Q, T शेष कार्य: कार्य-3, कार्य-4, कार्य-5 इन 3 व्यक्तियों को शेष 3 कार्यों में 3! = 3 x 2 x 1 = 6 तरीकों से सौंपा जा सकता है। * **उप-स्थिति 2.2: T को कार्य-1 सौंपा गया है।** यदि T को कार्य-1 मिलता है (और S को कार्य-2 मिलता है), तो T, S, कार्य-1, कार्य-2 निश्चित हैं। शेष व्यक्ति: P, Q, R शेष कार्य: कार्य-3, कार्य-4, कार्य-5 इन 3 व्यक्तियों को शेष 3 कार्यों में 3! = 3 x 2 x 1 = 6 तरीकों से सौंपा जा सकता है। स्थिति 2 (S को कार्य-2 सौंपा गया) के लिए कुल तरीके = 6 + 6 = 12 तरीके। 2. **कुल तरीके:** दोनों मुख्य स्थितियों से तरीकों का योग करें। कुल तरीके = 12 (स्थिति 1 से) + 12 (स्थिति 2 से) = 24 तरीके। अंतिम उत्तर D है।