यदि 2¹⁹² को 6 से विभाजित किया जाए तो शेषफल क्या होगा?

6 से विभाजित करने पर 2^192 का शेषफल ज्ञात करने के लिए, आइए 6 के मापांक में 2 की घातों के पैटर्न को देखें:

2^1 = 2 2^2 = 4 2^3 = 8, जो 2 (mod 6) है 2^4 = 16, जो 4 (mod 6) है 2^5 = 32, जो 2 (mod 6) है

हम एक पैटर्न देखते हैं:

• n = 1 के लिए, 2^n mod 6 = 2।
• सम n >= 2 के लिए, 2^n mod 6 = 4।
• विषम n >= 3 के लिए, 2^n mod 6 = 2।

हमारे प्रश्न में घातांक 192 है, जो एक सम संख्या है और 192 >= 2 है। पैटर्न के अनुसार, जब घातांक 2 से बड़ा या उसके बराबर एक सम संख्या होती है, तो शेषफल 4 होता है।

इसलिए, 6 से विभाजित करने पर 2^192 का शेषफल 4 बचता है।

विकल्पों का विश्लेषण: A) 0: गलत। 2^192, 2 की घात है, इसलिए इसके अभाज्य गुणनखंड केवल 2 हैं। 6 से विभाज्य होने के लिए, इसे 3 का अभाज्य गुणनखंड चाहिए होगा, जो इसमें नहीं है। B) 1: गलत। 2 की कोई भी घात (n>=1 के लिए) एक सम संख्या है। 6 जैसी सम संख्या से विभाजित होने पर एक सम संख्या 1 शेषफल नहीं दे सकती। C) 2: गलत। यह शेषफल तब होता जब घातांक 3 से बड़ी या उसके बराबर एक विषम संख्या होती (जैसे, 2^3 = 8, 8 mod 6 = 2)। हालाँकि, 192 एक सम घातांक है। D) 4: सही। देखे गए पैटर्न के अनुसार, 2 से बड़ी या उसके बराबर एक सम घातांक n के लिए, 2^n mod 6, 4 होता है।

अंतिम उत्तर D है।