एक मेज पर 9 कप रखे गए हैं, जिन्हें समान संख्या में पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित किया गया है, जिनमें से 6 कपों में कॉफी और 3 कपों में चाय है। उन्हें कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक कप कॉफी हो?

प्रश्न में 6 कॉफी (C) और 3 चाय (T) कपों को 3x3 ग्रिड में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या पूछी गई है कि प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक कॉफी कप हो।

एक 3x3 ग्रिड में 3 पंक्तियाँ होती हैं, और प्रत्येक पंक्ति में 3 स्थान होते हैं। "प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक कप कॉफी होनी चाहिए" की शर्त का अर्थ है कि किसी भी पंक्ति में 0 कॉफी कप नहीं हो सकते। चूंकि प्रत्येक पंक्ति में 3 स्थान हैं, यदि किसी पंक्ति में 0 कॉफी कप हैं, तो उसमें 3 चाय कप होने चाहिए। इसलिए, शर्त सरल हो जाती है: किसी भी पंक्ति में सभी 3 चाय कप नहीं हो सकते।

हमारे पास कुल 3 चाय कप हैं। आइए विचार करें कि इन 3 चाय कपों को 3 पंक्तियों में कैसे वितरित किया जा सकता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि किसी भी पंक्ति में सभी 3 चाय कप न हों। मान लीजिए t1, t2, t3 क्रमशः पंक्ति 1, पंक्ति 2 और पंक्ति 3 में चाय कपों की संख्या हैं। हमें t1 + t2 + t3 = 3 और t_i ≠ 3 होना चाहिए।

इस शर्त को संतुष्ट करने वाले चाय कपों (t1, t2, t3) के वितरण के दो संभावित तरीके हैं:

1. प्रत्येक पंक्ति में एक चाय कप (1, 1, 1):

   • पंक्ति 1: 1 चाय कप (और 2 कॉफी कप)। 3 स्थानों में 1 चाय कप रखने के तरीकों की संख्या C(3,1) = 3 है।
   • पंक्ति 2: 1 चाय कप (और 2 कॉफी कप)। 3 स्थानों में 1 चाय कप रखने के तरीकों की संख्या C(3,1) = 3 है।
   • पंक्ति 3: 1 चाय कप (और 2 कॉफी कप)। 3 स्थानों में 1 चाय कप रखने के तरीकों की संख्या C(3,1) = 3 है।
   • इस वितरण के लिए कुल तरीके = 3 * 3 * 3 = 27 तरीके। (प्रत्येक पंक्ति में 2C, 1T होगा, जो शर्त को पूरा करता है)।

2. एक पंक्ति में दो चाय कप, दूसरी पंक्ति में एक चाय कप, और तीसरी पंक्ति में शून्य चाय कप (2, 1, 0):

   • सबसे पहले, हमें यह तय करना होगा कि किस पंक्ति में 2 चाय कप, किसमें 1 और किसमें 0 होंगे। इन गणनाओं को पंक्तियों में वितरित करने के लिए 3! = 6 क्रमपरिवर्तन हैं (उदाहरण के लिए, पंक्ति1=2T, पंक्ति2=1T, पंक्ति3=0T; या पंक्ति1=1T, पंक्ति2=2T, पंक्ति3=0T, आदि)।
   • आइए एक विशिष्ट क्रमपरिवर्तन पर विचार करें, उदाहरण के लिए:
     • 2 चाय कप वाली पंक्ति (और 1 कॉफी कप): 3 स्थानों में 2 चाय कप रखने के तरीकों की संख्या C(3,2) = 3 है।
     • 1 चाय कप वाली पंक्ति (और 2 कॉफी कप): 3 स्थानों में 1 चाय कप रखने के तरीकों की संख्या C(3,1) = 3 है।
     • 0 चाय कप वाली पंक्ति (और 3 कॉफी कप): 3 स्थानों में 0 चाय कप रखने के तरीकों की संख्या C(3,0) = 1 है।
   • इस विशिष्ट क्रमित वितरण (जैसे, पंक्ति1, पंक्ति2, पंक्ति3 में (2T, 1T, 0T) के अनुसार) के लिए, तरीकों की संख्या 3 * 3 * 1 = 9 है।
   • चूंकि ऐसे 6 क्रमपरिवर्तन हैं (तीन पंक्तियों में (2,1,0) असाइन करने के तरीके), इस वितरण के लिए कुल तरीके = 6 * 9 = 54 तरीके। (प्रत्येक पंक्ति में (1C,2T), (2C,1T), या (3C,0T) होगा, सभी शर्त को पूरा करते हैं)।

कुल तरीकों की संख्या = वितरण 1 से तरीके + वितरण 2 से तरीके कुल तरीके = 27 + 54 = 81 तरीके।

अंतिम उत्तर D है।