एक संख्यात्मक लॉक है जिसमें 3-अंकीय पिन है। पिन में अंक 1 से 7 तक हैं। अंकों की कोई पुनरावृत्ति नहीं है। पिन में बाएं से दाएं अंक घटते क्रम में हैं। पिन में किन्हीं दो अंकों का अंतर कम से कम 2 है। पिन का निश्चित रूप से पता लगाने के लिए अधिकतम कितने प्रयासों की आवश्यकता है?

प्रश्न में विशिष्ट शर्तों को देखते हुए, 3-अंकीय पिन को निश्चित रूप से खोजने के लिए आवश्यक अधिकतम प्रयासों की संख्या पूछी गई है। इसका अर्थ है कि हमें सभी संभावित वैध पिनों की गणना करनी होगी।

मान लीजिए 3-अंकीय पिन को ABC द्वारा दर्शाया गया है। शर्तें हैं:

1. अंक 1 से 7 तक हैं (अर्थात्, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7})।
2. अंकों की कोई पुनरावृत्ति नहीं है (A ≠ B, B ≠ C, A ≠ C)।
3. अंक बाएं से दाएं घटते क्रम में हैं (A > B > C)।
4. पिन में किन्हीं दो अंकों का अंतर कम से कम 2 है। इसका तात्पर्य है: A - B ≥ 2 B - C ≥ 2

आइए सबसे बड़े संभावित अंक A से शुरू करके, व्यवस्थित रूप से अंकों का चयन करके संभावित पिनों को सूचीबद्ध करें।

स्थिति 1: A = 7 चूंकि A - B ≥ 2 है, B अधिकतम 7 - 2 = 5 हो सकता है। चूंकि B - C ≥ 2 और C ≥ 1 (सबसे छोटा अंक) है, B कम से कम 1 + 2 = 3 होना चाहिए। तो, B 3, 4, या 5 हो सकता है।

उप-स्थिति 1.1: B = 5 चूंकि B - C ≥ 2 है, C अधिकतम 5 - 2 = 3 हो सकता है। साथ ही, C > 0 (शर्त 1 से) होना चाहिए। संभावित C मान: {1, 2, 3}। पिन: (7, 5, 3), (7, 5, 2), (7, 5, 1) (3 पिन)

उप-स्थिति 1.2: B = 4 चूंकि B - C ≥ 2 है, C अधिकतम 4 - 2 = 2 हो सकता है। संभावित C मान: {1, 2}। पिन: (7, 4, 2), (7, 4, 1) (2 पिन)

उप-स्थिति 1.3: B = 3 चूंकि B - C ≥ 2 है, C अधिकतम 3 - 2 = 1 हो सकता है। संभावित C मान: {1}। पिन: (7, 3, 1) (1 पिन) A = 7 के लिए कुल: 3 + 2 + 1 = 6 पिन।

स्थिति 2: A = 6 चूंकि A - B ≥ 2 है, B अधिकतम 6 - 2 = 4 हो सकता है। चूंकि B - C ≥ 2 और C ≥ 1 है, B कम से कम 1 + 2 = 3 होना चाहिए। तो, B 3 या 4 हो सकता है।

उप-स्थिति 2.1: B = 4 चूंकि B - C ≥ 2 है, C अधिकतम 4 - 2 = 2 हो सकता है। संभावित C मान: {1, 2}। पिन: (6, 4, 2), (6, 4, 1) (2 पिन)

उप-स्थिति 2.2: B = 3 चूंकि B - C ≥ 2 है, C अधिकतम 3 - 2 = 1 हो सकता है। संभावित C मान: {1}। पिन: (6, 3, 1) (1 पिन) A = 6 के लिए कुल: 2 + 1 = 3 पिन।

स्थिति 3: A = 5 चूंकि A - B ≥ 2 है, B अधिकतम 5 - 2 = 3 हो सकता है। चूंकि B - C ≥ 2 और C ≥ 1 है, B कम से कम 1 + 2 = 3 होना चाहिए। तो, B केवल 3 हो सकता है।

उप-स्थिति 3.1: B = 3 चूंकि B - C ≥ 2 है, C अधिकतम 3 - 2 = 1 हो सकता है। संभावित C मान: {1}। पिन: (5, 3, 1) (1 पिन) A = 5 के लिए कुल: 1 पिन।

स्थिति 4: A = 4 चूंकि A - B ≥ 2 है, B अधिकतम 4 - 2 = 2 हो सकता है। हालांकि, चूंकि B - C ≥ 2 और C ≥ 1 है, B कम से कम 1 + 2 = 3 होना चाहिए। यह एक विरोधाभास पैदा करता है (B ≤ 2 और B ≥ 3)। इसलिए, 4 से शुरू होने वाले कोई पिन नहीं हो सकते। इसी तरह, A 4 से कम नहीं हो सकता।

संभावित पिनों की कुल संख्या = (A=7 के लिए पिन) + (A=6 के लिए पिन) + (A=5 के लिए पिन) कुल = 6 + 3 + 1 = 10।

पिन को निश्चित रूप से खोजने के लिए, सबसे खराब स्थिति में सभी संभावित वैध संयोजनों को आज़माना होगा। इसलिए, आवश्यक अधिकतम प्रयासों की संख्या वैध पिनों की कुल संख्या है।

अधिकतम प्रयासों की संख्या 10 है।

अंतिम उत्तर C है।