दो पात्र X और Y हैं। X में 100 ml दूध है और Y में 100 ml पानी है। X से 20 ml दूध Y में स्थानांतरित किया जाता है। अच्छी तरह मिलाने के बाद, Y में मिश्रण का 20 ml वापस X में स्थानांतरित किया जाता है। यदि m, X में दूध का अनुपात दर्शाता है और n, Y में पानी का अनुपात दर्शाता है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

यहाँ एक चरण-दर-चरण विश्लेषण दिया गया है:

1. प्रारंभिक स्थिति:

   • पात्र X: 100 ml दूध, 0 ml पानी।
   • पात्र Y: 0 ml दूध, 100 ml पानी।

2. पहले स्थानांतरण के बाद (X से Y में 20 ml दूध):

   • पात्र X: 80 ml दूध (100 - 20), 0 ml पानी।
   • पात्र Y: 20 ml दूध, 100 ml पानी। Y में कुल आयतन 120 ml है।

3. दूसरे स्थानांतरण के बाद (Y से X में मिश्रण का 20 ml):

   • सबसे पहले, Y में मिश्रण की संरचना निर्धारित करें:
     • Y में दूध का अनुपात = 20 ml / 120 ml = 1/6।
     • Y में पानी का अनुपात = 100 ml / 120 ml = 5/6।
   • अब, इस मिश्रण का 20 ml वापस X में स्थानांतरित किया जाता है:
     • X में वापस स्थानांतरित दूध की मात्रा = 20 ml * (1/6) = 10/3 ml।
     • X में वापस स्थानांतरित पानी की मात्रा = 20 ml * (5/6) = 50/3 ml।

4. पात्रों की अंतिम स्थिति:

   • पात्र X:
     • दूध = 80 ml (शेष) + 10/3 ml (स्थानांतरित) = 240/3 + 10/3 = 250/3 ml।
     • पानी = 0 ml + 50/3 ml (स्थानांतरित) = 50/3 ml।
     • X में कुल आयतन = 250/3 + 50/3 = 300/3 = 100 ml।
   • पात्र Y:
     • दूध = 20 ml (Y में प्रारंभिक) - 10/3 ml (बाहर स्थानांतरित) = 60/3 - 10/3 = 50/3 ml।
     • पानी = 100 ml (Y में प्रारंभिक) - 50/3 ml (बाहर स्थानांतरित) = 300/3 - 50/3 = 250/3 ml।
     • Y में कुल आयतन = 50/3 + 250/3 = 300/3 = 100 ml।

5. m और n की गणना करें:

   • m = X में दूध का अनुपात = (X में दूध) / (X में कुल आयतन) = (250/3 ml) / 100 ml = 250/300 = 5/6।
   • n = Y में पानी का अनुपात = (Y में पानी) / (Y में कुल आयतन) = (250/3 ml) / 100 ml = 250/300 = 5/6।

6. निष्कर्ष:

   • चूंकि m = 5/6 और n = 5/6 है, इसलिए m = n।

अतः, विकल्प A सही है।