15 × 14 × 13 × … × 3 × 2 × 1 = 3 m × n 12. 15 × 14 × 13 × … × 3 × 2 × 1 = 3 m × n जहाँ m और n धनात्मक पूर्णांक हैं, तो m का अधिकतम मान क्या है?

प्रश्न में समीकरण 15! = 3^m * n में 'm' का अधिकतम मान पूछा गया है, जहाँ 15! का अर्थ 15 × 14 × 13 × … × 3 × 2 × 1 है, और 'n' एक धनात्मक पूर्णांक है जो 3 से विभाज्य नहीं है। इसका मतलब है कि 'm' 15! को विभाजित करने वाली 3 की उच्चतम घात है।

किसी अभाज्य संख्या 'p' की उच्चतम घात ज्ञात करने के लिए जो n! को विभाजित करती है, हम लीजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं: m = floor(n/p) + floor(n/p^2) + floor(n/p^3) + ...

इस स्थिति में, n = 15 और p = 3 है।

1. पहला पद ज्ञात करें: floor(15/3) = floor(5) = 5। (यह 3, 6, 9, 12, 15 जैसी संख्याओं की गणना करता है, जिनमें से प्रत्येक 3 का कम से कम एक गुणनखंड प्रदान करता है)।

2. दूसरा पद ज्ञात करें: floor(15/3^2) = floor(15/9) = floor(1.66...) = 1। (यह 9 जैसी संख्याओं की गणना करता है, जो 3 का एक अतिरिक्त गुणनखंड प्रदान करती हैं क्योंकि 9 = 3*3। पहले पद ने पहले से ही 9 से एक 3 की गणना की थी, यह पद 9 से दूसरे 3 की गणना करता है)।

3. तीसरा पद ज्ञात करें: floor(15/3^3) = floor(15/27) = floor(0.55...) = 0। (हम यहीं रुक जाते हैं क्योंकि बाद के पद भी 0 होंगे)।

अब, पदों का योग करें: m = 5 + 1 = 6।

वैकल्पिक रूप से, हम सीधे 1 से 15 तक की संख्याओं में 3 के गुणनखंडों की गणना कर सकते हैं:

• 3 के गुणज: 3, 6, 9, 12, 15।
• इनमें से प्रत्येक कम से कम एक 3 का गुणनखंड प्रदान करता है: (3=3^1), (6=23^1), (9=3^2), (12=43^1), (15=5*3^1)।
• 3 के गुणनखंडों की गणना करें:
  • 3 से: एक 3
  • 6 से: एक 3
  • 9 से: दो 3 (क्योंकि 9 = 3 * 3)
  • 12 से: एक 3
  • 15 से: एक 3
• 3 के गुणनखंडों की कुल संख्या = 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 6।

इस प्रकार, m का अधिकतम मान 6 है।

अंतिम उत्तर B है।