एक व्यक्ति X कुछ कलमों को छह बच्चों A, B, C, D, E और F में बाँटना चाहता है। मान लीजिए कि A को B की प्राप्त कलमों की संख्या का दोगुना, C की प्राप्त कलमों की संख्या का तीन गुना, D की प्राप्त कलमों की संख्या का चार गुना, E की प्राप्त कलमों की संख्या का पाँच गुना और F की प्राप्त कलमों की संख्या का छह गुना प्राप्त होता है। X को न्यूनतम कितनी कलम खरीदनी चाहिए ताकि प्रत्येक को प्राप्त कलमों की संख्या एक सम संख्या हो?

मान लीजिए कि A, B, C, D, E, F प्रत्येक बच्चे द्वारा प्राप्त कलमों की संख्या है। प्रश्न के कथन से, हमारे पास निम्नलिखित संबंध हैं: A = 2B => B = A/2 A = 3C => C = A/3 A = 4D => D = A/4 A = 5E => E = A/5 A = 6F => F = A/6

प्रत्येक बच्चे को पूर्णांक संख्या में कलम प्राप्त होने के लिए, A को 2, 3, 4, 5 और 6 का गुणज होना चाहिए। इसलिए, A को इन संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का गुणज होना चाहिए। LCM(2, 3, 4, 5, 6) = 60. अतः, A को 60k के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है।

अब, प्रत्येक बच्चे की कलमों की संख्या के व्यंजकों में A = 60k प्रतिस्थापित करते हैं: A = 60k B = 60k/2 = 30k C = 60k/3 = 20k D = 60k/4 = 15k E = 60k/5 = 12k F = 60k/6 = 10k

प्रश्न में कहा गया है कि प्रत्येक को प्राप्त कलमों की संख्या एक सम संख्या होनी चाहिए। आइए प्रत्येक बच्चे के लिए इस शर्त की जाँच करें:

1. A = 60k: यह हमेशा सम होता है, क्योंकि 60 सम है।
2. B = 30k: यह हमेशा सम होता है, क्योंकि 30 सम है।
3. C = 20k: यह हमेशा सम होता है, क्योंकि 20 सम है।
4. D = 15k: 15k को सम संख्या होने के लिए, k को एक सम संख्या होना चाहिए (क्योंकि 15 विषम है)।
5. E = 12k: यह हमेशा सम होता है, क्योंकि 12 सम है।
6. F = 10k: यह हमेशा सम होता है, क्योंकि 10 सम है।

महत्वपूर्ण शर्त यह है कि D = 15k सम होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि k एक सम पूर्णांक होना चाहिए। न्यूनतम संख्या में कलमों को खोजने के लिए, हम k के लिए सबसे छोटी धनात्मक सम पूर्णांक चुनते हैं, जो कि k = 2 है।

अब, कलमों की संख्या के व्यंजकों में k = 2 को वापस प्रतिस्थापित करते हैं: A = 60 * 2 = 120 B = 30 * 2 = 60 C = 20 * 2 = 40 D = 15 * 2 = 30 E = 12 * 2 = 24 F = 10 * 2 = 20

ये सभी संख्याएँ (120, 60, 40, 30, 24, 20) सम हैं, जो सभी शर्तों को पूरा करती हैं।

X को खरीदने वाली कलमों की न्यूनतम कुल संख्या सभी बच्चों के लिए कलमों का योग है: कुल = A + B + C + D + E + F कुल = 120 + 60 + 40 + 30 + 24 + 20 कुल = 294

विकल्पों का विश्लेषण: A) 147: गलत। यह कुल होगा यदि A=60 (k=1), लेकिन D=15*1=15, जो सम नहीं है। B) 150: गलत। C) 294: सही, जैसा कि ऊपर गणना की गई है। D) 300: गलत। यह कुल होगा यदि A=120 और D=30, लेकिन यह A=120 के लिए सभी कलमों का योग नहीं है।

अंतिम उत्तर C) 294 है।