D एक 3-अंकीय संख्या है, जिसके अंकों के योग से उस संख्या का अनुपात न्यूनतम है। D के सैकड़े के स्थान वाले अंक और इकाई के स्थान वाले अंक के बीच क्या अंतर है?

3-अंकीय संख्या D ज्ञात करने के लिए, जिसके अंकों के योग से उस संख्या का अनुपात न्यूनतम हो, मान लीजिए संख्या D = 100a + 10b + c है, जहाँ a, b, c इसके अंक हैं। इसके अंकों का योग S = a + b + c है। हमें अनुपात R = D/S = (100a + 10b + c) / (a + b + c) को न्यूनतम करना है।

1. अनुपात का विश्लेषण: अनुपात R को भारित औसत के रूप में देखा जा सकता है। अंक 'a' (सैकड़े का स्थान) संख्या D में अपने मान का 100 गुना योगदान देता है, जबकि योग S में केवल 1 गुना योगदान देता है। इसी प्रकार, 'b' (दहाई का स्थान) D में 10 गुना और S में 1 गुना योगदान देता है, और 'c' (इकाई का स्थान) D में 1 गुना और S में 1 गुना योगदान देता है। समग्र अनुपात D/S को न्यूनतम करने के लिए, हमें:

   • अंश (numerator) में उच्चतम "भार" वाले अंक (अर्थात् 'a', जिसे 100 से गुणा किया जाता है) को न्यूनतम करना चाहिए।
   • अंश में कम "भार" वाले अंकों (अर्थात् 'b' और 'c', जिन्हें क्रमशः 10 और 1 से गुणा किया जाता है) को अधिकतम करना चाहिए, क्योंकि वे अंश (संख्या मान) की तुलना में हर (अंकों का योग) में अधिक योगदान करते हैं।

2. अंकों का निर्धारण:

   • सैकड़े का अंक (a): चूँकि D एक 3-अंकीय संख्या है, 'a' 0 नहीं हो सकता। अनुपात को न्यूनतम करने के लिए, 'a' यथासंभव छोटा होना चाहिए, इसलिए a = 1।
   • दहाई का अंक (b): अंकों के योग को अधिकतम करने और अनुपात को न्यूनतम करने के लिए, 'b' यथासंभव बड़ा होना चाहिए, इसलिए b = 9।
   • इकाई का अंक (c): इसी प्रकार, 'c' यथासंभव बड़ा होना चाहिए, इसलिए c = 9।

3. संख्या D का निर्माण: a=1, b=9, और c=9 के साथ, संख्या D 199 है।

4. D=199 के लिए अनुपात की गणना: अंकों का योग S = 1 + 9 + 9 = 19। अनुपात R = 199 / 19 = 10.473...

   (यह पुष्टि करने के लिए कि यह वास्तव में न्यूनतम है, अन्य संख्याओं पर विचार करें: यदि D=198 (a=1, b=9, c=8), S=18, R=198/18 = 11। यदि D=189 (a=1, b=8, c=9), S=18, R=189/18 = 10.5। यदि D=299 (a=2, b=9, c=9), S=20, R=299/20 = 14.95। संख्या 199 वास्तव में न्यूनतम अनुपात देती है।)

5. आवश्यक अंतर की गणना: सैकड़े के स्थान वाला अंक 'a' = 1 है। इकाई के स्थान वाला अंक 'c' = 9 है। इन अंकों के बीच का अंतर |1 - 9| = |-8| = 8 है।

अंतिम उत्तर C) 8 है।