पाँच धनात्मक पूर्णांकों p, q, r, s, t में से तीन सम हैं और दो विषम हैं (आवश्यक रूप से क्रम में नहीं)। निम्नलिखित पर विचार कीजिए: I. p + q + r - s - t निश्चित रूप से सम है। II. 2p + q + 2r - 2s + t निश्चित रूप से विषम है। उपर्युक्त कथनों में से कौन-सा/कौन-से सही है/हैं?

इसे हल करने के लिए, हम सम और विषम संख्याओं के गुणों को देखते हैं।

कथन 1: p + q + r - s - t पूर्णांकों का योग या अंतर समता नियमों का पालन करता है। चाहे आप पाँच संख्याओं को जोड़ें या घटाएँ, परिणाम की समता सेट में विषम संख्याओं की संख्या पर निर्भर करती है। यहाँ, हमारे पास ठीक दो विषम संख्याएँ हैं। जब आप दो विषम संख्याओं को जोड़ते हैं (चाहे जोड़कर या घटाकर), परिणाम हमेशा सम होता है। उस परिणाम में तीन सम संख्याओं को जोड़ने से यह सम बना रहेगा। इसलिए, अभिव्यक्ति हमेशा सम होती है, चाहे विशिष्ट चर विषम हों या नहीं। कथन 1 सही है।

कथन 2: 2p + q + 2r - 2s + t हम गुणांकों को देखकर इसे सरल बना सकते हैं। 2p, 2r और 2s हमेशा सम होते हैं क्योंकि 2 से गुणा की गई कोई भी पूर्णांक एक सम संख्या में परिणत होती है। अभिव्यक्ति अनिवार्य रूप से इस तरह व्यवहार करती है: सम + q + सम - सम + t। यह सम + q + t तक सरल हो जाता है। कुल की समता पूरी तरह से (q + t) पर निर्भर करती है। यदि q और t दो विषम संख्याएँ हैं, तो उनका योग सम है। यदि एक विषम है और एक सम है, तो उनका योग विषम है। यदि दोनों सम हैं, तो उनका योग सम है। चूंकि हम नहीं जानते कि कौन से चर विषम हैं, इसलिए परिणाम निश्चित रूप से विषम नहीं है। कथन 2 गलत है।

निष्कर्ष: केवल कथन 1 सही है। सही विकल्प A है।