एक डिब्बे में 14 काले गेंदें, 20 नीली गेंदें, 26 हरी गेंदें, 28 पीली गेंदें, 38 लाल गेंदें और 54 सफेद गेंदें हैं। निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए: I. सबसे छोटी संख्या n जिसके लिए डिब्बे से यादृच्छिक रूप से निकाली गई किसी भी n गेंदों में कम से कम एक रंग का पूरा समूह होना चाहिए, 175 है। II. सबसे छोटी संख्या m जिसके लिए डिब्बे से यादृच्छिक रूप से निकाली गई किसी भी m गेंदों में प्रत्येक रंग की कम से कम एक गेंद होनी चाहिए, 167 है। उपरोक्त कथनों में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?

कथनों की सत्यता निर्धारित करने के लिए, हम सबसे खराब स्थिति सिद्धांत का उपयोग करते हैं।

कथन 1: यह ज्ञात करने के लिए कि कम से कम एक रंग का पूरा समूह होने के लिए सबसे छोटी संख्या n क्या है, हम पहले अधिकतम संख्या की गणना करते हैं जो किसी भी एकल रंग समूह को पूरा किए बिना निकाली जा सकती है। ऐसा तब होता है जब हम प्रत्येक रंग के लिए कुल से एक कम गेंदें निकालते हैं। गणना: काला: 13 (14 माइनस 1) नीला: 19 (20 माइनस 1) हरा: 25 (26 माइनस 1) पीला: 27 (28 माइनस 1) लाल: 37 (38 माइनस 1) सफेद: 53 (54 माइनस 1) योग = 13 + 19 + 25 + 27 + 37 + 53 = 174। अगली गेंद निकाली गई (175वीं गेंद) इनमें से एक रंग समूह को पूरा करना होगा। इसलिए, n 175 है। कथन 1 सही है।

कथन 2: यह ज्ञात करने के लिए कि प्रत्येक रंग की कम से कम एक गेंद होने के लिए सबसे छोटी संख्या m क्या है, हम सबसे खराब स्थिति देखते हैं जहां हम सबसे छोटी मात्रा वाले रंग को छोड़कर सभी रंगों की सभी गेंदों को समाप्त कर देते हैं। रंग और उनकी मात्रा हैं: सफेद (54), लाल (38), पीला (28), हरा (26), नीला (20), और काला (14)। सबसे खराब स्थिति पांच सबसे बड़े समूहों की प्रत्येक गेंद को निकालना है, इससे पहले कि सबसे छोटे समूह (काला) से एक भी गेंद प्राप्त हो। पांच सबसे बड़े समूहों का योग = 54 + 38 + 28 + 26 + 20 = 166। अगली गेंद निकाली गई (167वीं गेंद) शेष समूह (काला) से होनी चाहिए, यह सुनिश्चित करते हुए कि हमारे पास प्रत्येक रंग की कम से कम एक गेंद है। इसलिए, m 167 है। कथन 2 सही है।

चूंकि दोनों कथन सही हैं, उत्तर C है।