तीन अभाज्य संख्याएँ p, q और r, प्रत्येक 20 से कम हैं, इस प्रकार हैं कि p - q = q - r है। (p + q + r) के कितने भिन्न संभावित मान प्राप्त किए जा सकते हैं?

प्रश्न में कहा गया है कि p, q और r 20 से कम अभाज्य संख्याएँ हैं और समीकरण p - q = q - r का पालन करती हैं। इस समीकरण को p + r = 2q के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इसका मतलब है कि q, p और r का ठीक मध्य मान (अंकगणितीय माध्य) है, जिसका अर्थ है कि p, q और r एक अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं।

सबसे पहले, आइए 20 से कम सभी अभाज्य संख्याओं की सूची बनाएं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19।

अब हम इस सूची से तीन अभाज्य संख्याओं के सभी समुच्चयों को ढूंढते हैं जहाँ उभयनिष्ठ अंतर समान है:

1. 2 के उभयनिष्ठ अंतर के साथ: (7, 5, 3)। यहाँ, p + q + r 15 है।
2. 4 के उभयनिष्ठ अंतर के साथ: (11, 7, 3)। यहाँ, p + q + r 21 है।
3. 6 के उभयनिष्ठ अंतर के साथ: (17, 11, 5)। यहाँ, p + q + r 33 है।
4. 6 के उभयनिष्ठ अंतर के साथ: (19, 13, 7)। यहाँ, p + q + r 39 है।

ध्यान दें कि संख्या 2 को शामिल करने वाले किसी भी समुच्चय को समान रिक्ति बनाए रखने के लिए अन्य संख्याओं को गैर-अभाज्य संख्याओं की आवश्यकता होगी, और अन्य संयोजनों जैसे (17, 13, 9) विफल हो जाएंगे क्योंकि 9 अभाज्य नहीं है।

(p + q + r) के चार भिन्न मान 15, 21, 33 और 39 हैं। चूंकि ठीक 4 भिन्न संभावित मान हैं, इसलिए सही विकल्प A है।