मान लीजिए p और k दोनों अभाज्य संख्याएँ (prime numbers) हैं, जैसे कि (p² + k) भी 30 से कम एक अभाज्य संख्या है। k के संभावित मानों की संख्या क्या है?

इसे हल करने के लिए, हमें अभाज्य संख्याएँ p और k ज्ञात करनी होंगी, जैसे कि (p^2 + k) भी 30 से कम एक अभाज्य संख्या हो। 30 से कम अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29।

आइए p (जो एक अभाज्य संख्या होनी चाहिए) के संभावित मानों का परीक्षण करें:

स्थिति 1: p = 2 p^2 = 4। हमें (4 + k) को 30 से कम एक अभाज्य संख्या की आवश्यकता है। आइए k के अभाज्य मानों का परीक्षण करें:

• यदि k = 2, 4 + 2 = 6 (अभाज्य नहीं)
• यदि k = 3, 4 + 3 = 7 (अभाज्य, 30 से कम)। अतः k=3 एक संभावित मान है।
• यदि k = 5, 4 + 5 = 9 (अभाज्य नहीं)
• यदि k = 7, 4 + 7 = 11 (अभाज्य, 30 से कम)। अतः k=7 एक संभावित मान है।
• यदि k = 11, 4 + 11 = 15 (अभाज्य नहीं)
• यदि k = 13, 4 + 13 = 17 (अभाज्य, 30 से कम)। अतः k=13 एक संभावित मान है।
• यदि k = 17, 4 + 17 = 21 (अभाज्य नहीं)
• यदि k = 19, 4 + 19 = 23 (अभाज्य, 30 से कम)। अतः k=19 एक संभावित मान है।
• यदि k = 23, 4 + 23 = 27 (अभाज्य नहीं)
• यदि k = 29, 4 + 29 = 33 (अभाज्य नहीं, और 30 से अधिक) p=2 के लिए, k के संभावित मान हैं: 3, 7, 13, 19।

स्थिति 2: p = 3 p^2 = 9। हमें (9 + k) को 30 से कम एक अभाज्य संख्या की आवश्यकता है। आइए k के अभाज्य मानों का परीक्षण करें:

• यदि k = 2, 9 + 2 = 11 (अभाज्य, 30 से कम)। अतः k=2 एक संभावित मान है।
• यदि k = 3, 9 + 3 = 12 (अभाज्य नहीं)
• यदि k = 5, 9 + 5 = 14 (अभाज्य नहीं)
• यदि k = 7, 9 + 7 = 16 (अभाज्य नहीं)
• यदि k = 11, 9 + 11 = 20 (अभाज्य नहीं)
• यदि k = 13, 9 + 13 = 22 (अभाज्य नहीं)
• यदि k = 17, 9 + 17 = 26 (अभाज्य नहीं)
• यदि k = 19, 9 + 19 = 28 (अभाज्य नहीं)
• यदि k = 23, 9 + 23 = 32 (अभाज्य नहीं, और 30 से अधिक) p=3 के लिए, k का संभावित मान है: 2।

स्थिति 3: p = 5 p^2 = 25। हमें (25 + k) को 30 से कम एक अभाज्य संख्या की आवश्यकता है। आइए k के अभाज्य मानों का परीक्षण करें:

• यदि k = 2, 25 + 2 = 27 (अभाज्य नहीं)
• यदि k = 3, 25 + 3 = 28 (अभाज्य नहीं) 5 या उससे बड़े किसी भी अभाज्य k के लिए (25 + k) 30 या उससे अधिक हो जाएगा, इसलिए यह 30 से कम एक अभाज्य संख्या नहीं हो सकती। p=5 के लिए, k का कोई संभावित मान नहीं है।

स्थिति 4: p > 5 यदि p, 5 से बड़ी एक अभाज्य संख्या है, तो p^2, 25 से बड़ी होगी (उदाहरण के लिए, यदि p=7, p^2=49)। चूंकि k एक अभाज्य संख्या है, k का सबसे छोटा मान 2 हो सकता है। तो (p^2 + k) कम से कम (49 + 2) = 51 होगा, जो 30 से अधिक है। इसलिए, 5 से बड़ी p के लिए कोई संभावित मान नहीं है।

सभी ज्ञात विशिष्ट k मानों को मिलाकर: p=2 से, k मान हैं: 3, 7, 13, 19। p=3 से, k मान है: 2।

k के सभी विशिष्ट संभावित मानों का समुच्चय {2, 3, 7, 13, 19} है। k के 5 संभावित मान हैं।

अंतिम उत्तर B है