n ऐसे संख्या समुच्चय हैं, जिनमें से प्रत्येक में केवल तीन धनात्मक पूर्णांक हैं जिनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 1001 के बराबर है और महत्तम समापवर्त्य (HCF) 1 के बराबर है। n का मान क्या है?

इसे हल करने के लिए, सबसे पहले 1001 का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए, जो कि 7 गुना 11 गुना 13 है। ये तीन भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं।

माना कि समुच्चय में तीन पूर्णांक x, y और z हैं। उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के 1001 होने के लिए, अभाज्य गुणनखंड 7, 11 और 13 को x, y और z के बीच वितरित किया जाना चाहिए। विशेष रूप से, प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए, कम से कम एक संख्या में यह होना चाहिए, और किसी में भी उस अभाज्य की उच्च घात नहीं होनी चाहिए।

उनके महत्तम समापवर्त्य (HCF) के 1 होने के लिए, यह आवश्यक है कि कोई भी एकल अभाज्य गुणनखंड एक साथ तीनों संख्याओं में मौजूद न हो।

इन शर्तों के तहत तीन अभाज्य संख्याओं को तीन संख्याओं में वितरित करने के तरीके काफी बड़े हैं। एक एकल अभाज्य गुणनखंड जैसे 7 के लिए, x, y और z में कई मान्य वितरण हैं। चूंकि तीन स्वतंत्र अभाज्य गुणनखंड हैं, कुल संयोजनों की संख्या प्रत्येक अभाज्य को वितरित करने के तरीकों का गुणनफल है।

गणितीय रूप से, प्रत्येक अभाज्य के लिए, इसे कम से कम एक संख्या में दिखाने के 6 तरीके हैं, लेकिन सभी तीनों में नहीं। तीन अभाज्य संख्याओं के साथ, 6 गुना 6 गुना 6 हैं, जो कि 216 क्रमित त्रिक के बराबर है। भले ही यह ध्यान में रखा जाए कि समुच्चय अव्यवस्थित हैं और संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए, अद्वितीय समुच्चयों की कुल संख्या 8 से बहुत अधिक है।

इसलिए, n का मान 8 से अधिक है।