एक प्राकृत संख्या N इस प्रकार है कि इसे N = p + q + r के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p, q और r, N के भिन्न गुणनखंड हैं। 50 से कम कितनी संख्याएँ इस गुण को संतुष्ट करती हैं?

इस समस्या को हल करने के लिए, हम उन संख्याओं की तलाश कर रहे हैं जहाँ N को उसके तीन भिन्न गुणनखंडों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। मान लीजिए कि गुणनखंड p, q और r हैं। यदि हम समीकरण N = p + q + r के दोनों पक्षों को N से विभाजित करते हैं, तो हमें 1 = p/N + q/N + r/N प्राप्त होता है।

चूंकि p, q और r, N के गुणनखंड हैं, इसलिए भिन्नों p/N, q/N और r/N को इकाई भिन्नों जैसे 1/2, 1/3, 1/4 आदि होना चाहिए। हमें तीन भिन्न इकाई भिन्नों को खोजना होगा जो 1 तक जोड़ते हैं। तीन भिन्न इकाई भिन्नों का एकमात्र समुच्चय जो 1 तक जोड़ता है वह 1/2 + 1/3 + 1/6 है।

इसका मतलब है कि N को शर्त को संतुष्ट करने के लिए, उसके तीन गुणनखंड N/2, N/3 और N/6 होने चाहिए। इन पूर्णांकों के लिए, N को 2, 3 और 6 के लघुत्तम समापवर्त्य का गुणज होना चाहिए, जो कि 6 है।

इसलिए, 6 का कोई भी गुणज इस गुण को संतुष्ट करेगा क्योंकि N/2 + N/3 + N/6 = (3N + 2N + N) / 6 = 6N / 6 = N।

50 से कम 6 के गुणज 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 और 48 हैं। इनकी गिनती करने पर, हमें पता चलता है कि ऐसी ठीक 8 संख्याएँ हैं। इसलिए, सही विकल्प C है।