मान लीजिए x, y और z चर हैं, जो अपने संभाव्य मानों के रूप में धनात्मक वास्तविक संख्याएँ प्राप्त करते हैं। यह दिया गया है कि y, x^2 के अनुक्रमानुपाती है और x, z के व्युत्क्रमानुपाती है। z = 7/25 के लिए x और y के मान क्रमशः 5 और 50 हैं। यदि y = 98 है, तो z किसके बराबर है?

यह प्रश्न 'अनुक्रमानुपाती (Direct Proportion)' और 'व्युत्क्रमानुपाती (Inverse Proportion)' के गणितीय सिद्धांतों पर आधारित है, जिसे NCERT कक्षा 8 के गणित (अध्याय 13) में विस्तार से समझाया गया है।

सही विकल्प (B) क्यों सही है: प्रश्न के अनुसार:

1. y ∝ x² ⟹ y = k₁ x² (जहाँ k₁ एक नियतांक है)
2. x ∝ 1/z ⟹ x = k₂/z (जहाँ k₂ एक नियतांक है)

दिया गया है कि z = 7/25 के लिए x = 5 और y = 50 है। सबसे पहले k₁ और k₂ का मान निकालते हैं: 50 = k₁ (5)² ⟹ k₁ = 50/25 = 2 5 = k₂/(7/25) ⟹ k₂ = 5 × 7/25 = 7/5

अब y और z के बीच का संबंध बनाते हैं: y = k₁ (k₂/z)² ⟹ y = 2 × (7/5)²/z² = 2 × (49/25)/z² = 98/(25z²)

यदि y = 98 है, तो z का मान: 98 = 98/(25z²) ⟹ 25z² = 1 ⟹ z² = 1/25 चूँकि z एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसलिए z = 1/5। अतः विकल्प (B) सही है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

• A) 1/7: यह गलत है। यह त्रुटि तब होती है जब छात्र व्युत्क्रमानुपात के बजाय स्थिरांकों की गणना में 7 और 25 को आपस में उलझा देते हैं।
• C) 5/7: यह गलत है। यह मान तब आ सकता है यदि x और z के बीच सीधे अनुपात (direct proportion) का संबंध मान लिया जाए या वर्ग (square) करना भूल जाएँ।
• D) 1: यह गलत है। यदि समीकरण 98/(25z²) = 98 में हर (denominator) के 25 को नजरअंदाज कर दिया जाए, तो भूलवश z=1 प्राप्त होता है।

निष्कर्ष (Takeaway): अनुपात के प्रश्नों (Proportionality problems) में हमेशा अनुपातिक स्थिरांक (constants) k₁ और k₂ का मान सटीकता से निकालकर मुख्य समीकरण (Master Equation) में रखना चाहिए।