यदि दो भिन्न संख्याओं के HCF और LCM का गुणनफल, उनमें से एक संख्या का घन है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा/कौन-से कथन सही है/हैं? I. संख्याओं के बीच का अंतर एक सम संख्या है। II. संख्याओं में से एक संख्या एक पूर्ण वर्ग है। नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर उत्तर चुनिए।

स्पष्टीकरण:

हम जानते हैं कि किन्हीं दो संख्याओं के HCF (महत्तम समापवर्तक) और LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) का गुणनफल उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। सूत्र: HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या

मान लीजिए कि दो भिन्न संख्याएँ 'a' और 'b' हैं। प्रश्न के अनुसार, उनके HCF और LCM का गुणनफल उनमें से एक संख्या (मान लीजिए 'a') का घन (a³) है। इसलिए, a × b = a³ => b = a² (चूँकि संख्याएँ भिन्न हैं, अतः a 1 के बराबर नहीं हो सकता) इससे स्पष्ट होता है कि दोनों संख्याएँ 'a' और 'a²' हैं।

कथनों का विश्लेषण:

• कथन I (सही है): संख्याओं के बीच का अंतर = a² - a = a(a - 1) है। चूँकि 'a' और '(a - 1)' दो क्रमागत पूर्णांक (consecutive integers) हैं, और हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल सदैव एक सम संख्या (Even number) होता है। अतः यह कथन सत्य है।
• कथन II (सही है): हमारी दोनों संख्याएँ 'a' और 'a²' हैं। इनमें से दूसरी संख्या (a²) स्पष्ट रूप से एक पूर्ण वर्ग (Perfect square) है। अतः यह कथन भी सत्य है।

विकल्पों का विश्लेषण:

• विकल्प A (केवल I) और B (केवल II) गलत हैं: क्योंकि ऊपर दिए गए गणितीय प्रमाण के अनुसार दोनों कथन स्वतंत्र रूप से सही हैं, इसलिए कोई एक विकल्प चुनना अपर्याप्त है।
• विकल्प C (I और II दोनों) सही है: क्योंकि यह सिद्ध हो चुका है कि संख्याओं का अंतर एक सम संख्या है और उनमें से एक संख्या पूर्ण वर्ग है।
• विकल्प D गलत है: क्योंकि दोनों कथन पूरी तरह से सत्य हैं, इसलिए यह विकल्प अनुचित है।

याद रखने योग्य तथ्य (Takeaway): दो संख्याओं के लिए (HCF × LCM = a × b) हमेशा लागू होता है। साथ ही, बीजगणित (Algebra) के नियमानुसार किन्हीं भी दो क्रमागत संख्याओं जैसे n और (n-1) का गुणनफल हमेशा 2 से पूर्णतः विभाज्य (अर्थात सम संख्या) होता है।