यदि x और y दो अंक हैं और 4x5y790 संख्या, 11 से विभाज्य है, तो x + y को 11 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?

सही उत्तर विकल्प D (7) है।

विवरण: NCERT और अन्य गणितीय मानकों के अनुसार, 11 से विभाज्यता का नियम (Divisibility Rule of 11) यह है कि किसी भी संख्या के विषम स्थानों (odd places) के अंकों का योग और सम स्थानों (even places) के अंकों के योग का अंतर या तो शून्य (0) होना चाहिए या 11 का गुणज (जैसे 11, 22 आदि) होना चाहिए।

दी गई संख्या: 4x5y790

• विषम स्थानों के अंक (बाएं से दाएं): 4, 5, 7, 0 इनका योग = 4 + 5 + 7 + 0 = 16
• सम स्थानों के अंक (बाएं से दाएं): x, y, 9 इनका योग = x + y + 9

नियमानुसार, अंतर = (x + y + 9) - 16 = x + y - 7 संख्या 11 से विभाज्य होने के लिए, (x + y - 7) या तो 0 होना चाहिए या 11 का गुणज।

स्थिति 1: x + y - 7 = 0 ➔ x + y = 7 स्थिति 2: x + y - 7 = 11 ➔ x + y = 18 (चूंकि x और y एकल अंक (0-9) हैं, अतः x+y का अधिकतम मान 18 ही हो सकता है)।

प्रश्न में पूछा गया है कि (x + y) को 11 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?

• यदि x + y = 7 है, तो 7 को 11 से भाग देने पर शेषफल 7 ही प्राप्त होता है।
• यदि x + y = 18 है, तो 18 को 11 से भाग देने पर (11 × 1 + 7), यहाँ भी शेषफल 7 प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 7 है।

अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:

• A (1), B (3), और C (5): ये सभी गलत हैं क्योंकि गणितीय रूप से (x + y) का संभावित मान केवल 7 या 18 ही आ सकता है, और इन दोनों ही स्थितियों में 11 से भाग देने पर शेषफल अनिवार्य रूप से 7 बचता है, न कि 1, 3 या 5।

निष्कर्ष/स्मरण सूत्र (Takeaway): 11 से विभाज्यता के प्रश्नों को हल करने के लिए हमेशा "|सम स्थानों का योग - विषम स्थानों का योग| = 0 या 11k" सूत्र का प्रयोग करें। दो अज्ञात अंकों (x, y) का योग हमेशा 0 से 18 के बीच ही हो सकता है, इस सीमा को ध्यान में रखकर संभावित मान निकालें।