तीन भागीदारों A, B और C ने एक व्यवसाय आरंभ किया। A ने एक-तिहाई अवधि के लिए पूँजी का एक-तिहाई निवेश किया। B ने एक-चौथाई अवधि के लिए पूँजी का एक-चौथाई निवेश किया। C ने संपूर्ण अवधि के लिए शेष पूँजी का निवेश किया। ₹ 17,000 के लाभ में से C को कितना लाभ मिलेगा?

UPSC CSAT जैसी प्रतियोगी परीक्षाओं में लाभ और साझेदारी (Partnership) के प्रश्नों को हल करने का मूल गणितीय सिद्धांत यह है कि भागीदारों के बीच लाभ का बँटवारा उनके द्वारा निवेश की गई पूँजी और उस निवेश की समयावधि के गुणनफल (Investment × Time) के अनुपात में होता है। मानक गणितीय पुस्तकों के अनुसार इसी सूत्र का प्रयोग किया जाता है।

विस्तृत हल (सही विकल्प A क्यों है): मान लीजिए कि कुल पूँजी 1 इकाई और कुल समयावधि भी 1 इकाई है।

• A का हिस्सा: निवेश = 1/3, समय = 1/3 ➔ 1/3 × 1/3 = 1/9
• B का हिस्सा: निवेश = 1/4, समय = 1/4 ➔ 1/4 × 1/4 = 1/16
• C का हिस्सा: C ने शेष पूँजी निवेश की = 1 - (1/3 + 1/4) = 1 - 7/12 = 5/12
• C का समय संपूर्ण अवधि (1) था ➔ 5/12 × 1 = 5/12

अब, A, B और C के लाभ का अनुपात = 1/9 : 1/16 : 5/12 हरों (9, 16 और 12) का ल.स.प. (LCM) 144 होता है। अनुपात को 144 से गुणा करने पर यह 16 : 9 : 60 हो जाता है। अनुपातों का कुल योग = 16 + 9 + 60 = 85 इकाई। चूँकि कुल लाभ ₹ 17,000 है, इसलिए 1 इकाई का मान = 17,000 ÷ 85 = 200 रुपये। अतः, C का लाभ = 60 × 200 = ₹ 12,000। इसलिए, विकल्प A सही उत्तर है।

अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:

• विकल्प B (₹ 10,000): यह गलत है क्योंकि यह तब आता जब C का हिस्सा 60 की बजाय 50 इकाई होता, जो कि निवेश और समय के गुणनफल के गणितीय नियम के विरुद्ध है।
• विकल्प C (₹ 12,500): यह त्रुटिपूर्ण गणना को दर्शाता है और यह कुल लाभ को गलत अनुपात में बाँटने पर प्राप्त होता है।
• विकल्प D (₹ 10,750): यह एक भ्रामक विकल्प है; यदि समय की अवधि को नज़रअंदाज़ कर केवल निवेश के आधार पर लाभ का वितरण किया जाए, तो भी यह आँकड़ा नहीं आता।

याद रखने योग्य सूत्र (Takeaway): "लाभ = पूँजी × समय" (Profit = Capital × Time)। साझेदारी के प्रश्नों में कभी भी केवल पूँजी के आधार पर लाभ न बाँटें; हमेशा समयावधि के प्रभाव को भी गणना में शामिल करें।