QUEUE शब्द के वर्णों का स्थान अदल-बदल कर कितने शब्द बनाए जा सकते हैं, यदि Q के बाद सदैव U आता है? इस प्रकार बने शब्द का कोई अर्थ होना आवश्यक नहीं है।

सही विकल्प (D) 12 का स्पष्टीकरण:

शब्द "QUEUE" में कुल 5 अक्षर हैं: 1 'Q', 2 'U', और 2 'E'। प्रश्न की शर्त के अनुसार, 'Q' के बाद सदैव 'U' आना चाहिए। इस प्रकार की समस्या को हल करने के लिए हम 'Q' और 'U' को एक साथ मिलाकर एक एकल इकाई (single block) मान लेते हैं, जिसे हम [QU] कहेंगे। चूंकि मूल शब्द में दो 'U' हैं, एक 'U' का उपयोग [QU] ब्लॉक बनाने में हो गया। अब हमारे पास विन्यास के लिए निम्नलिखित इकाइयाँ बचती हैं: [QU], U, E, E।

इस प्रकार, हमें कुल 4 इकाइयों को व्यवस्थित करना है। 'क्रमचय और संचय' (Permutations and Combinations) के गणितीय सिद्धान्तों (जैसे कि NCERT कक्षा 11, अध्याय 7 में वर्णित) के अनुसार: कुल विन्यासों की संख्या = (कुल इकाइयों का फैक्टोरियल) / (पुनरावृत्त होने वाली समान इकाइयों का फैक्टोरियल)। यहाँ 4 इकाइयों में अक्षर 'E' 2 बार आता है (जबकि एक 'U' स्वतंत्र है और दूसरा [QU] ब्लॉक के अंदर है, इसलिए वे विन्यास के स्तर पर समान नहीं माने जाएंगे)। कुल शब्द = 4! / 2! गणना: (4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1) = 24 / 2 = 12. अतः कुल 12 शब्द बनाए जा सकते हैं, जिससे विकल्प D सही है।

गलत विकल्पों का विश्लेषण:

• विकल्प A (6): यह गलत है। यह उत्तर तब आता है जब कोई विद्यार्थी भ्रामक रूप से 4! / (2! × 2!) = 6 करता है, यह मानकर कि 'U' भी दो बार दोहराया जा रहा है, जो [QU] ब्लॉक बनने के बाद अमान्य है।
• विकल्प B (8): यह एक मनमाना अंक है जो क्रमचय के किसी भी तार्किक गणितीय सूत्र या 'इकाई विधि' (Box Method) का पालन नहीं करता है।
• विकल्प C (10): यह भी गलत है। यदि बिना शर्त के कुल व्यवस्था 5! / (2! × 2!) = 30 निकाली जाए, तो उससे 10 का कोई सीधा गणितीय संबंध स्थापित नहीं होता; यह केवल एक भ्रामक विकल्प है।

निष्कर्ष (Takeaway): UPSC CSAT के क्रमचय (Permutations) प्रश्नों में, जब कुछ अक्षर "सदैव एक साथ (always together)" या विशिष्ट क्रम में आने चाहिए, तो उन्हें एक इकाई (Box method) मान लें। समान अक्षरों (identicals) के लिए फैक्टोरियल से भाग देना न भूलें, परंतु ध्यान रहे कि ब्लॉक के अंदर शामिल अक्षर को बाहर के स्वतंत्र अक्षर के समरूप मानकर दोहरी गिनती न की जाए।