I से V तक के तल वाले एक पाँच-मंजिला भवन को चार विभिन्न रंगों का उपयोग करके रंगा गया है और प्रत्येक तल को रंगने के लिए केवल एक रंग का उपयोग किया जाता है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें: 1. मध्य तीन तलों को विभिन्न रंगों से रंगा गया है। 2. दूसरे (II) और चौथे (IV) तल को विभिन्न रंगों से रंगा गया है। 3. पहले (I) और पाँचवें (V) तल को लाल रंग से रंगा गया है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि किन्हीं भी दो क्रमागत तलों के रंग भिन्न हों

प्रश्न पूछता है कि "यह सुनिश्चित करने के लिए कि किन्हीं भी दो क्रमागत तलों के रंग भिन्न हों" कौन सा कथन (कथन) पर्याप्त है। इसका तात्पर्य है कि यदि कथन सत्य है, तो भवन को इस प्रकार रंगा जाना संभव होना चाहिए कि कोई भी दो क्रमागत तल समान रंग के न हों, और कथन स्वयं उल्लंघन की ओर नहीं ले जाता है। हमारे पास 4 विभिन्न रंग उपलब्ध हैं और 5 तल (I से V) हैं। आइए प्रत्येक कथन का विश्लेषण करें: 1. कथन 1: मध्य तीन तलों को विभिन्न रंगों से रंगा गया है। इसका मतलब है कि C(II), C(III), और C(IV) अलग-अलग रंग हैं। मान लीजिए C(II)=A, C(III)=B, C(IV)=C (जहाँ A, B, C उपलब्ध 4 रंगों में से अलग-अलग रंग हैं)। यह कथन *गारंटी* देता है कि C(II) != C(III) और C(III) != C(IV)। हालांकि, यह C(I) बनाम C(II) या C(IV) बनाम C(V) के बारे में कुछ भी गारंटी नहीं देता है। उदाहरण के लिए, यदि C(II)=लाल, C(III)=नीला, C(IV)=हरा (कथन 1 को संतुष्ट करता है)। हम तब C(I)=लाल रंग सकते हैं। इस मामले में, C(I) = C(II), जो इस शर्त का उल्लंघन करता है कि किन्हीं भी दो क्रमागत तलों के रंग भिन्न होने चाहिए। इसलिए, कथन 1 अकेले पर्याप्त नहीं है, क्योंकि यह अंतिम तलों के लिए उल्लंघन को नहीं रोकता है। 2. कथन 2: दूसरे (II) और चौथे (IV) तल को विभिन्न रंगों से रंगा गया है। इसका मतलब है कि C(II) != C(IV)। यह एक बहुत कमजोर शर्त है। उदाहरण के लिए, हम C(I)=लाल, C(II)=नीला, C(III)=नीला, C(IV)=हरा, C(V)=हरा रंग सकते हैं। यहाँ, C(II) != C(IV) (नीला != हरा), लेकिन C(II)=C(III) और C(IV)=C(V), जो शर्त का उल्लंघन करता है। इसलिए, कथन 2 अकेले पर्याप्त नहीं है। 3. कथन 3: पहले (I) और पाँचवें (V) तल को लाल रंग से रंगा गया है। इसका मतलब है कि C(I) = लाल और C(V) = लाल। यह शर्त "किन्हीं भी दो क्रमागत तलों के रंग भिन्न हों" को पूरा करने के लिए, हमें यह आवश्यक है: C(I) != C(II) => लाल != C(II) C(II) != C(III) C(III) != C(IV) C(IV) != C(V) => C(IV) != लाल तो, यदि कथन 3 सत्य है, तो हम जानते हैं कि C(I)=लाल और C(V)=लाल है। हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या हम 4 उपलब्ध रंगों (मान लीजिए लाल, नीला, हरा, पीला) से C(II), C(III), और C(IV) के लिए रंग *हमेशा* चुन सकते हैं ताकि शर्तों को पूरा किया जा सके। C(I) != C(II) से, C(II) लाल नहीं हो सकता। C(IV) != C(V) से, C(IV) लाल नहीं हो सकता। तो, C(II) और C(IV) को {नीला, हरा, पीला} से चुना जाना चाहिए। आइए C(II) = नीला चुनें। आइए C(IV) = हरा चुनें। अब हमारे पास है: लाल, नीला, C(III), हरा, लाल। हमें अभी भी C(II) != C(III) (नीला != C(III)) और C(III) != C(IV) (C(III) != हरा) को संतुष्ट करने की आवश्यकता है। हम C(III) को लाल चुन सकते हैं (क्योंकि लाल नीला नहीं है और हरा नहीं है)। तो, एक मान्य रंग योजना है: लाल, नीला, लाल, हरा, लाल। सभी क्रमागत तलों के रंग भिन्न हैं। चूंकि हम एक मान्य रंग योजना खोजने में सक्षम थे, कथन 3 यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि शर्त को पूरा किया जा सके। कथनों की तुलना: कथन 1 पर्याप्त नहीं है क्योंकि भले ही मध्य तीन तल अलग हों, अंतिम तलों को उल्लंघन को पूरा करने के लिए रंगा जा सकता है। कथन 2 बहुत कमजोर है और स्पष्ट रूप से पर्याप्त नहीं है। कथन 3 पर्याप्त है क्योंकि यह एक मजबूत पर्याप्त बाधा प्रदान करता है (सिरों का रंग समान है) कि, 4 उपलब्ध रंगों के साथ, हम हमेशा मध्यवर्ती तलों को "कोई क्रमागत तल समान नहीं" की शर्त को पूरा करने के लिए रंगने का एक मान्य तरीका ढूंढ सकते हैं। इसलिए, केवल कथन 3 पर्याप्त है। अंतिम उत्तर $\boxed{B}$ है।