तीन गैर-शून्य अंकों का उपयोग करके प्राप्त सभी 3-अंकीय संख्याओं (अंकों की पुनरावृत्ति के बिना) पर विचार करें जो 3 के गुणज हैं। मान लीजिए S उनका योग है। निम्नलिखित में से कौन सा/से सही है/हैं? 1. S हमेशा 74 से विभाज्य है। 2. S हमेशा 9 से विभाज्य है। नीचे दिए गए कोड का उपयोग करके सही उत्तर चुनें:

तीन गैर-शून्य अंक जो 3 के गुणज हैं, वे 3, 6 और 9 हैं। मान लीजिए ये अंक d1, d2, d3 हैं। इन अंकों का योग d1 + d2 + d3 = 3 + 6 + 9 = 18 है। जब तीन भिन्न अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के सभी संभावित 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जाती हैं, तो इन संख्याओं का योग (S) इस प्रकार परिकलित किया जा सकता है: S = 2 * (d1 + d2 + d3) * (100 + 10 + 1) S = 2 * (अंकों का योग) * 111 अंकों का योग प्रतिस्थापित करें: S = 2 * 18 * 111 S = 36 * 111 S = 3996 अब, प्रत्येक कथन का विश्लेषण करें: कथन 1: S हमेशा 74 से विभाज्य है। हमारे पास S = 3996 है। S को 74 से विभाजित करें: 3996 / 74 = 54। चूंकि 3996, 74 से पूरी तरह विभाज्य है, इसलिए कथन 1 इस विशिष्ट अंक सेट के लिए सही है। सामान्यीकरण: S = 2 * (अंकों का योग) * 111 = 2 * (अंकों का योग) * 3 * 37 = 6 * (अंकों का योग) * 37। हम 37 को 74/2 के रूप में लिख सकते हैं। तो, S = 6 * (अंकों का योग) * (74/2) = 3 * (अंकों का योग) * 74। यह दर्शाता है कि S हमेशा 74 से विभाज्य है, विशिष्ट गैर-शून्य अंकों पर ध्यान दिए बिना, जब तक कि वे भिन्न हों। कथन 2: S हमेशा 9 से विभाज्य है। हमारे पास S = 3996 है। 9 से विभाज्यता की जाँच के लिए, S के अंकों का योग करें: 3 + 9 + 9 + 6 = 27। चूंकि 27, 9 से विभाज्य है, इसलिए S (3996) 9 से विभाज्य है। तो, कथन 2 इस विशिष्ट अंक सेट के लिए सही है। सामान्यीकरण: समस्या बताती है कि तीन अंक गैर-शून्य गुणज 3 हैं। मान लीजिए ये अंक 3k1, 3k2, 3k3 हैं (जहाँ k1, k2, k3 {1, 2, 3} से भिन्न पूर्णांक हैं)। इन अंकों का योग (d1 + d2 + d3) हमेशा 3 का गुणज होगा। उदाहरण के लिए, 3+6+9 = 18 (3 का गुणज)। S = 6 * (अंकों का योग) * 37। चूंकि (अंकों का योग) 3 का गुणज है, मान लीजिए (अंकों का योग) = 3M किसी पूर्णांक M के लिए। तब S = 6 * (3M) * 37 = 18M * 37। चूंकि S में 18 का एक गुणनखंड है, S हमेशा 9 से विभाज्य है (क्योंकि 18, 9 से विभाज्य है)। कथन 1 और 2 दोनों सही हैं। अंतिम उत्तर C है