एक 2-अंकीय संख्या और अंकों के स्थानों को आपस में बदलने पर प्राप्त संख्या के बीच का अंतर 54 है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें: 1. संख्या के दो अंकों का योग केवल तभी ज्ञात किया जा सकता है जब दो अंकों का गुणनफल ज्ञात हो। 2. संख्या के दो अंकों के बीच का अंतर ज्ञात किया जा सकता है। उपरोक्त कथनों में से कौन सा/से सही है/हैं?

मान लीजिए 2-अंकीय संख्या को 10x + y के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ x दहाई का अंक है और y इकाई का अंक है। अंकों के स्थानों को आपस में बदलने पर प्राप्त संख्या 10y + x है। प्रश्न के अनुसार, इन दो संख्याओं के बीच का अंतर 54 है। (10x + y) - (10y + x) = 54 10x - x + y - 10y = 54 9x - 9y = 54 9(x - y) = 54 x - y = 54 / 9 x - y = 6 अब दिए गए कथनों का विश्लेषण करते हैं: कथन 1: "संख्या के दो अंकों का योग केवल तभी ज्ञात किया जा सकता है जब दो अंकों का गुणनफल ज्ञात हो।" हम जानते हैं कि x - y = 6 है। इस शर्त को पूरा करने वाले अंकों (x, y) के संभावित युग्मों को सूचीबद्ध करते हैं, यह ध्यान में रखते हुए कि x 1-9 से एक अंक है और y 0-9 से एक अंक है: 1. यदि y = 0, तो x = 6। संख्या 60 है। योग (x+y) = 6। गुणनफल (x*y) = 0। 2. यदि y = 1, तो x = 7। संख्या 71 है। योग (x+y) = 8। गुणनफल (x*y) = 7। 3. यदि y = 2, तो x = 8। संख्या 82 है। योग (x+y) = 10। गुणनफल (x*y) = 16। 4. यदि y = 3, तो x = 9। संख्या 93 है। योग (x+y) = 12। गुणनफल (x*y) = 27। चूंकि योग (x+y) 6, 8, 10, या 12 हो सकता है, यह दी गई जानकारी (x-y=6) से विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होता है। कथन का दावा है कि योग *केवल तभी* ज्ञात किया जा सकता है जब गुणनफल ज्ञात हो। इसका तात्पर्य यह है कि गुणनफल को जानना योग को निर्धारित करने का *एकमात्र* तरीका है। हालांकि, यदि हमें अन्य जानकारी दी जाती, जैसे कि अंकों में से एक का मान (उदाहरण के लिए, यदि हम जानते कि y=1, तो x=7, और x+y=8), तो हम गुणनफल को जाने बिना योग निर्धारित कर सकते थे। चूंकि योग निर्धारित करने के अन्य तरीके हैं, "केवल यदि" शर्त कथन 1 को गलत बनाती है। कथन 2: "संख्या के दो अंकों के बीच का अंतर ज्ञात किया जा सकता है।" हमारे उपरोक्त गणना से, हमने पाया कि x - y = 6 है। यह मान दी गई जानकारी से विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। इसलिए, कथन 2 सही है। विश्लेषण के आधार पर, केवल कथन 2 सही है। अंतिम उत्तर B है।