AB तथा CD दो अंकों वाली संख्याएँ हैं। AB को CD से गुणा करने पर 3 अंकों वाली संख्या DEF प्राप्त होती है। DEF को एक अन्य 3 अंकों वाली संख्या GHI में जोड़ने पर 975 प्राप्त होता है। आगे A, B, C, D, E, F, G, H, I सभी भिन्न अंक हैं। यदि E = 0, F = 8 है, तो A + B + C का मान क्या है?

प्रश्न में दो समीकरण और कुछ प्रतिबंध दिए गए हैं:

1. AB * CD = DEF
2. DEF + GHI = 975
3. A, B, C, D, E, F, G, H, I सभी भिन्न अंक हैं।
4. E = 0, F = 8.

चरण 1: ज्ञात मान E=0, F=8 का उपयोग करके DEF का निर्धारण करें। DEF = D08.

चरण 2: दूसरे समीकरण में DEF का प्रतिस्थापन करें। D08 + GHI = 975

चरण 3: D के संभावित मानों का निर्धारण करें। D एक अंक (0-9) होना चाहिए और E=0 तथा F=8 से भिन्न होना चाहिए। चूँकि DEF एक 3 अंकों वाली संख्या है, D शून्य नहीं हो सकता। अतः D, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 हो सकता है। भिन्न अंकों के प्रतिबंध को ध्यान में रखते हुए इन मानों का परीक्षण करें:

• यदि D = 1, DEF = 108. GHI = 975 - 108 = 867. प्रयुक्त अंक: D=1, E=0, F=8, G=8, H=6, I=7. यहाँ, F=8 और G=8 है। यह भिन्न अंकों के प्रतिबंध का उल्लंघन करता है (F और G भिन्न होने चाहिए)। अतः D, 1 नहीं हो सकता।

• यदि D = 2, DEF = 208. GHI = 975 - 208 = 767. प्रयुक्त अंक: D=2, E=0, F=8, G=7, H=6, I=7. यहाँ, G=7 और I=7 है। यह भिन्न अंकों के प्रतिबंध का उल्लंघन करता है। अतः D, 2 नहीं हो सकता।

• यदि D = 3, DEF = 308. GHI = 975 - 308 = 667. प्रयुक्त अंक: D=3, E=0, F=8, G=6, H=6, I=7. यहाँ, G=6 और H=6 है। यह भिन्न अंकों के प्रतिबंध का उल्लंघन करता है। अतः D, 3 नहीं हो सकता।

• यदि D = 4, DEF = 408. GHI = 975 - 408 = 567. प्रयुक्त अंक: D=4, E=0, F=8, G=5, H=6, I=7. ये अंक {0, 4, 5, 6, 7, 8} सभी भिन्न हैं। यह एक मान्य समूह है। अतः, D=4, E=0, F=8, G=5, H=6, I=7. A, B, C के लिए शेष अंक {1, 2, 3, 9} में से हैं।

चरण 4: समीकरण AB * CD = DEF का उपयोग करें, जहाँ D=4 और DEF=408 है। AB * C4 = 408. हमें दो 2-अंकीय संख्याएँ ज्ञात करनी हैं, जिनमें से एक 4 पर समाप्त होती है, जिनका गुणनफल 408 है। 408 के गुणनखंड ज्ञात करें: 408 = 2^3 * 3 * 17. गुणनखंडों में शामिल हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 17, 24, 34, 51, 68, 102, आदि। हम दो 2-अंकीय गुणनखंडों की तलाश में हैं। संभावित जोड़े: (12, 34) (17, 24)

चूँकि CD को 4 पर समाप्त होना चाहिए (C4), एकमात्र संभावना CD = 34 है। यदि CD = 34 है, तो C=3 और D=4 है। परिणामस्वरूप, AB = 12, इसलिए A=1 और B=2 है।

चरण 5: सभी भिन्न अंकों के प्रतिबंधों को सत्यापित करें। A=1, B=2, C=3, D=4, E=0, F=8, G=5, H=6, I=7. सभी अंकों का समूह {1, 2, 3, 4, 0, 8, 5, 6, 7} है। सभी 9 अंक भिन्न हैं। यह समाधान सभी शर्तों के अनुरूप है।

चरण 6: A + B + C की गणना करें। A + B + C = 1 + 2 + 3 = 6.

(अन्य D मानों के लिए संक्षिप्त जाँच, यदि D=5, DEF=508. GHI=467. अंक 0,8,5,4,6,7 भिन्न हैं। AB*C5=508. 508 के गुणनखंड 1,2,4,127,254,508 हैं। कोई दो 2-अंकीय गुणनखंड नहीं। अतः D, 5 नहीं हो सकता। इसी प्रकार, अन्य D मान विरोधाभास उत्पन्न करेंगे।)

अंतिम उत्तर 6 है।

अंतिम उत्तर A) 6 है।