संख्या 11223344 के अंकों को पुनर्व्यवस्थित करके कितने भिन्न 8-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, जहाँ विषम अंक विषम स्थानों पर और सम अंक सम स्थानों पर हों?

संख्या 11223344 है। इसमें 8 अंक हैं: चार विषम अंक (1, 1, 3, 3) और चार सम अंक (2, 2, 4, 4)। 8-अंकीय संख्या में 8 स्थान हैं। विषम स्थान 1ले, 3रे, 5वें, 7वें हैं (4 स्थान)। सम स्थान 2रे, 4थे, 6वें, 8वें हैं (4 स्थान)।

चरण 1: 4 विषम स्थानों में विषम अंकों (1, 1, 3, 3) को व्यवस्थित करें। यह पुनरावृत्तियों के साथ 4 मदों का एक क्रमचय है। सूत्र n! / (r1! * r2! * ...), जहाँ n मदों की कुल संख्या है, और r1, r2 दोहराए गए मदों की गणना हैं। तरीकों की संख्या = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1)) = 24 / 4 = 6 तरीके।

चरण 2: 4 सम स्थानों में सम अंकों (2, 2, 4, 4) को व्यवस्थित करें। इसी तरह, यह पुनरावृत्तियों के साथ 4 मदों का एक क्रमचय है। तरीकों की संख्या = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1)) = 24 / 4 = 6 तरीके।

चरण 3: कुल भिन्न 8-अंकीय संख्याओं को ज्ञात करने के लिए, विषम अंकों और सम अंकों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या को गुणा करें, क्योंकि ये स्वतंत्र विकल्प हैं। कुल भिन्न संख्याएँ = (विषम अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके) * (सम अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके) = 6 * 6 = 36।

इसलिए, 36 भिन्न 8-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

विकल्प विश्लेषण: A) 12: गलत। यह 6+6 या 6*2 होगा, स्वतंत्र व्यवस्थाओं का सही गुणन नहीं। B) 18: गलत। C) 36: सही, जैसा कि ऊपर गणना की गई है। D) 72: गलत।