n का वह अधिकतम मान क्या है जिसके लिए 7 × 343 × 385 × 1000 × 2401 × 77777, 35ⁿ से विभाज्य है?

यह ज्ञात करने के लिए कि n का अधिकतम मान क्या है जिसके लिए दिया गया गुणनफल 35ⁿ से विभाज्य है, हमें सबसे पहले 35 का अभाज्य गुणनखंडन करना होगा। 35 = 5 × 7

इसके बाद, हमें पूरे गुणनफल में 5 के गुणनखंडों की कुल संख्या और 7 के गुणनखंडों की कुल संख्या गिननी होगी। n का अधिकतम मान इन दोनों गणनाओं का न्यूनतम होगा।

आइए गुणनफल में प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें, 5 और 7 पर ध्यान केंद्रित करते हुए:

1. 7 = 7¹ (एक 7, शून्य 5s शामिल हैं)
2. 343 = 7³ (तीन 7s, शून्य 5s शामिल हैं)
3. 385 = 5 × 7 × 11 (एक 5, एक 7 शामिल हैं)
4. 1000 = 10³ = (2 × 5)³ = 2³ × 5³ (तीन 5s, शून्य 7s शामिल हैं)
5. 2401 = 7⁴ (चार 7s, शून्य 5s शामिल हैं)
6. 77777 = 7 × 11111 = 7 × 41 × 271 (एक 7, शून्य 5s शामिल हैं)

अब, प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए गणनाओं का योग करें:

7 के गुणनखंडों की कुल संख्या: 1 (7 से) + 3 (343 से) + 1 (385 से) + 0 (1000 से) + 4 (2401 से) + 1 (77777 से) = 10

5 के गुणनखंडों की कुल संख्या: 0 (7 से) + 0 (343 से) + 1 (385 से) + 3 (1000 से) + 0 (2401 से) + 0 (77777 से) = 4

गुणनफल को (5⁴) × (7¹⁰) × (अन्य अभाज्य गुणनखंडों) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। गुणनफल के 35ⁿ = (5 × 7)ⁿ = 5ⁿ × 7ⁿ से विभाज्य होने के लिए, n का मान 5 की कुल संख्या से कम या उसके बराबर और 7 की कुल संख्या से कम या उसके बराबर होना चाहिए। इसलिए, n ≤ 4 (5 की गणना से) और n ≤ 10 (7 की गणना से)

n का अधिकतम मान (4, 10) का न्यूनतम है, जो कि 4 है।

इसलिए, n का अधिकतम मान 4 है।

अंतिम उत्तर B है।