एक टूर्नामेंट में तीन टीमों P, Q, R ने भाग लिया, जिसमें टीमों ने एक-दूसरे के साथ ठीक एक बार खेला। जीत पर टीम को 2 अंक मिलते हैं और ड्रॉ पर 1 अंक। हारने पर टीम को कोई अंक नहीं मिलता। प्रत्येक टीम ने टूर्नामेंट में ठीक एक गोल किया। टीम P को 3 अंक, Q को 2 अंक और R को 1 अंक मिला। निम्नलिखित कथनों में से कौन सा/से सही है/हैं? I. P और Q के बीच मैच का परिणाम 0-0 के स्कोर के साथ ड्रॉ रहा। II. Q के विरुद्ध R द्वारा किए गए गोलों की संख्या 1 है। उपरोक्त कथनों में से कौन सा/से सही है/हैं?

समस्या में टीमों P, Q, और R के बीच तीन मैचों के अंतिम परिणाम और स्कोर का अनुमान लगाना शामिल है, जो उनके अंतिम अंक और गोल-स्कोरिंग जानकारी दी गई है। 1. कुल मैच: P बनाम Q, P बनाम R, Q बनाम R (3 मैच)। 2. प्रति मैच अंक: जीत पर 2 अंक, ड्रॉ पर प्रत्येक टीम को 1 अंक मिलता है। किसी भी मैच में, कुल 2 अंक वितरित किए जाते हैं (जीत/हार के लिए 2+0, ड्रॉ के लिए 1+1)। 3. कुल वितरित अंक: 3 मैच * 2 अंक/मैच = 6 अंक। P, Q, R (3+2+1 = 6) के अंकों का योग इससे मेल खाता है, जो संगति की पुष्टि करता है। 4. गोल स्कोरिंग: प्रत्येक टीम ने टूर्नामेंट में ठीक एक गोल किया। इसका मतलब है कि कुल 3 गोल सभी मैचों में किए गए। आइए अंकों के आधार पर मैच के परिणामों का अनुमान लगाएं: * P के 3 अंक हैं। दो मैचों से 3 अंक प्राप्त करने के लिए, P को 1 जीत (2 अंक) और 1 ड्रॉ (1 अंक) प्राप्त करना होगा। * Q के 2 अंक हैं। दो मैचों से 2 अंक प्राप्त करने के लिए, Q के पास 1 जीत (2 अंक) और 1 हार (0 अंक) हो सकती है, या 2 ड्रॉ (1+1 अंक) हो सकते हैं। * R के 1 अंक है। दो मैचों से 1 अंक प्राप्त करने के लिए, R को 1 ड्रॉ (1 अंक) और 1 हार (0 अंक) प्राप्त करनी होगी। R के अंकों (1 ड्रॉ, 1 हार) से, हम जानते हैं कि R ने एक मैच ड्रॉ किया। आइए R के ड्रॉ की दो संभावनाओं पर विचार करें: स्थिति 1: R ने P के साथ ड्रॉ किया (P बनाम R एक ड्रॉ है)। * P को R से 1 अंक मिलता है, R को P से 1 अंक मिलता है। * चूंकि P को कुल 3 अंक चाहिए, और R से 1 अंक मिला है, P को Q के खिलाफ अपना दूसरा मैच जीतना होगा। इसलिए, P बनाम Q P की जीत है (P को 2 अंक, Q को 0 अंक मिलते हैं)। * P के अंक: 1 (R से) + 2 (Q से) = 3 अंक (संगत)। * R के अंक: 1 (P से)। R ने अपना दूसरा मैच हारा, इसलिए R को Q से हारना होगा (R को Q से 0 अंक मिलते हैं)। * R के अंक: 1 (P से) + 0 (Q से) = 1 अंक (संगत)। * Q के अंक: 0 (P से)। Q को R के खिलाफ जीतना होगा (Q को R से 2 अंक मिलते हैं)। * Q के अंक: 0 (P से) + 2 (R से) = 2 अंक (संगत)। * तो, यह अंक वितरण (P बनाम R: ड्रॉ, P बनाम Q: P जीतता है, Q बनाम R: Q जीतता है) कुल अंकों के साथ संगत है। अब, गोल की जानकारी (प्रत्येक टीम ने 1 गोल किया, कुल 3 गोल) को शामिल करें: * P बनाम R: ड्रॉ। यदि यह 1-1 है, तो P और R ने अपने गोल कर लिए हैं। * P बनाम Q: P जीतता है। यदि P ने पहले ही R के खिलाफ गोल कर लिया है, तो P यहाँ गोल नहीं कर सकता। P के जीतने के लिए, यह 1-0 (P ने गोल किया) या 2-1 आदि होना चाहिए। यदि P ने पहले ही गोल कर लिया है, तो यह परिदृश्य समस्याग्रस्त है। * आइए गोल बचाने के लिए जहां संभव हो 0-0 ड्रॉ मान लें। * यदि P बनाम R 0-0 ड्रॉ है: P को 1 अंक, R को 1 अंक मिलता है। गोल: P=0, R=0। * P बनाम Q: P जीतता है। P को अपना गोल करना होगा। Q ने गोल नहीं किया है। P 1-0 से जीतता है। P को 2 अंक, Q को 0 अंक मिलते हैं। गोल: P=1, Q=0। * Q बनाम R: Q जीतता है। Q को अपना गोल करना होगा। R ने गोल नहीं किया है। Q 1-0 से जीतता है। Q को 2 अंक, R को 0 अंक मिलते हैं। गोल: Q=1, R=0। * कुल गोल: P=1, Q=1, R=0। यह इस शर्त का खंडन करता है कि R ने ठीक एक गोल किया। इसलिए, स्थिति 1 गलत है। स्थिति 2: R ने Q के साथ ड्रॉ किया (Q बनाम R एक ड्रॉ है)। * Q को R से 1 अंक मिलता है, R को Q से 1 अंक मिलता है। * चूंकि R को कुल 1 अंक चाहिए, और Q से 1 अंक मिला है, R को P के खिलाफ अपना दूसरा मैच हारना होगा। इसलिए, P बनाम R P की जीत है (P को 2 अंक, R को 0 अंक मिलते हैं)। * R के अंक: 1 (Q से) + 0 (P से) = 1 अंक (संगत)। * P के अंक: 2 (R से)। P को कुल 3 अंक चाहिए, इसलिए P को Q के खिलाफ अपना दूसरा मैच ड्रॉ करना होगा। इसलिए, P बनाम Q एक ड्रॉ है (P को 1 अंक, Q को 1 अंक मिलता है)। * P के अंक: 2 (R से) + 1 (Q से) = 3 अंक (संगत)। * Q के अंक: 1 (R से) + 1 (P से) = 2 अंक (संगत)। * यह अंक वितरण (P बनाम Q: ड्रॉ, P बनाम R: P जीतता है, Q बनाम R: ड्रॉ) कुल अंकों के साथ संगत है। अब, गोल की जानकारी (प्रत्येक टीम ने 1 गोल किया, कुल 3 गोल) को शामिल करें: * P बनाम Q: ड्रॉ। यदि यह 1-1 है, तो P और Q ने अपने गोल कर लिए हैं। फिर P ने R के खिलाफ जीत हासिल की (P बनाम R: P जीतता है)। P फिर से गोल नहीं कर सकता। इसका मतलब है कि P 1-0 से जीतता है, लेकिन P के पास कोई गोल नहीं बचा है। यह एक विरोधाभास है। इसलिए, P बनाम Q 0-0 का ड्रॉ होना चाहिए। * P बनाम Q: 0-0 ड्रॉ। P को 1 अंक, Q को 1 अंक मिलता है। गोल: P=0, Q=0। * P बनाम R: P जीतता है। P को अपना गोल करना होगा। R ने गोल नहीं किया है। P 1-0 से जीतता है। P को 2 अंक, R को 0 अंक मिलते हैं। गोल: P=1, R=0। (P ने अपना एकमात्र गोल किया है)। * Q बनाम R: ड्रॉ। Q को अपना गोल करना होगा। R को अपना गोल करना होगा। यह 1-1 का ड्रॉ होना चाहिए। Q को 1 अंक, R को 1 अंक मिलता है। गोल: Q=1, R=1। (Q और R ने अपने एकमात्र गोल किए हैं)। आइए इस अंतिम परिदृश्य को सत्यापित करें: * मैच परिणाम और स्कोर: * P बनाम Q: 0-0 ड्रॉ (P=1 अंक, Q=1 अंक) * P बनाम R: P 1-0 से जीतता है (P=2 अंक, R=0 अंक) * Q बनाम R: 1-1 ड्रॉ (Q=1 अंक, R=1 अंक) * कुल अंक: * P: 1 + 2 = 3 अंक (सही) * Q: 1 + 1 = 2 अंक (सही) * R: 0 + 1 = 1 अंक (सही) * प्रत्येक टीम द्वारा किए गए कुल गोल: * P: 1 गोल (R के विरुद्ध) (सही) * Q: 1 गोल (R के विरुद्ध) (सही) * R: 1 गोल (Q के विरुद्ध) (सही) यह परिदृश्य सभी दी गई शर्तों को पूरी तरह से पूरा करता है। अब, कथनों का मूल्यांकन करें: कथन I: P और Q के बीच मैच का परिणाम 0-0 के स्कोर के साथ ड्रॉ रहा। हमारे अद्वितीय अनुमान के आधार पर, यह कथन सही है। कथन II: Q के विरुद्ध R द्वारा किए गए गोलों की संख्या 1 है। Q बनाम R मैच में, जो 1-1 का ड्रॉ था, R ने Q के विरुद्ध 1 गोल किया। यह कथन भी सही है। चूंकि कथन I और II दोनों सही हैं, इसलिए उत्तर C है। अंतिम उत्तर C है।