यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो 4 से विभाजित करने पर (1ⁿ + 2ⁿ) के विभिन्न शेषफलों की संख्या कितनी है?

4 से विभाजित करने पर (1^n + 2^n) के विभिन्न शेषफलों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम n के विभिन्न मानों के लिए व्यंजक का विश्लेषण करते हैं, जहाँ n एक प्राकृत संख्या है (n = 1, 2, 3, ...)।

1. 1^n का विश्लेषण: किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए, 1^n हमेशा 1 होता है।

2. 2^n का विश्लेषण:

   • यदि n = 1: 2^1 = 2।
   • यदि n = 2: 2^2 = 4। जब 4 को 4 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 0 होता है।
   • यदि n = 3: 2^3 = 8। जब 8 को 4 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 0 होता है।
   • किसी भी n >= 2 के लिए, 2^n 4 का गुणज होगा (चूंकि 2^n = 2^2 * 2^(n-2) = 4 * 2^(n-2))। इसलिए, n >= 2 के लिए, 2^n को 4 से विभाजित करने पर शेषफल 0 प्राप्त होता है।

अब, (1^n + 2^n) mod 4 के लिए इन्हें संयोजित करते हैं:

• स्थिति 1: n = 1 (1^1 + 2^1) = 1 + 2 = 3। जब 3 को 4 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 3 होता है।

• स्थिति 2: n >= 2 (1^n + 2^n) = 1 + (4 का गुणज) जब (1 + 2^n) को 4 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल (1 + 0) = 1 होता है।

अतः, संभावित विभिन्न शेषफल 3 (जब n=1) और 1 (जब n>=2) हैं। 2 विभिन्न शेषफल हैं।

अंतिम उत्तर C है।