जब 9³ + 9⁴ + 9⁵ + 9⁶ + … + 9¹⁰⁰ को 6 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल क्या होगा?

9³ + 9⁴ + 9⁵ + 9⁶ + … + 9¹⁰⁰ को 6 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, आइए 6 से विभाजित करने पर प्रत्येक पद के शेषफल का विश्लेषण करें। 1. 9 को 6 से विभाजित करने पर शेषफल: 9 = 1 * 6 + 3। अतः, 9 को 6 से विभाजित करने पर 3 शेषफल बचता है। हम इसे 9 ≡ 3 (mod 6) के रूप में लिख सकते हैं। 2. 6 से विभाजित करने पर 9 की घातों का शेषफल: यदि 9 ≡ 3 (mod 6), तो 9ⁿ ≡ 3ⁿ (mod 6)। आइए 6 के सापेक्ष 3 की घातों की जाँच करें: 3¹ ≡ 3 (mod 6) 3² = 9 ≡ 3 (mod 6) 3³ = 27 ≡ 3 (mod 6) सामान्यतः, किसी भी पूर्णांक n ≥ 1 के लिए, 3ⁿ ≡ 3 (mod 6)। इसलिए, योग में प्रत्येक पद 9ⁿ (जहाँ n ≥ 3) को 6 से विभाजित करने पर 3 शेषफल बचेगा। 3. योग में पदों की संख्या: घात 3 से 100 तक हैं। पदों की संख्या = (अंतिम घात - प्रथम घात) + 1 पदों की संख्या = (100 - 3) + 1 = 97 + 1 = 98 पद। 4. शेषफलों का योग: योग S = 9³ + 9⁴ + 9⁵ + 9⁶ + … + 9¹⁰⁰। जब S को 6 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल अलग-अलग शेषफलों का योग, मॉड्यूलो 6 होगा। S ≡ (3 + 3 + 3 + ... + 3) (mod 6) चूंकि 98 पद हैं, यह है: S ≡ (98 * 3) (mod 6) 5. (98 * 3) mod 6 की गणना करें: 98 * 3 = 294। अब, 294 को 6 से विभाजित करें: 294 ÷ 6 = 49। चूंकि 294, 6 से पूरी तरह विभाज्य है, शेषफल 0 है। वैकल्पिक रूप से, (98 * 3) mod 6 ज्ञात करने के लिए: ध्यान दें कि 98 एक सम संख्या है, इसलिए 98 * 3, 2 का गुणज है। साथ ही, 98 * 3, 3 का गुणज है। चूंकि 98 * 3, 2 और 3 दोनों का गुणज है, यह उनके लघुत्तम समापवर्त्य, जो कि 6 है, का गुणज होना चाहिए। इसलिए, (98 * 3) mod 6 = 0। जब 9³ + 9⁴ + 9⁵ + 9⁶ + … + 9¹⁰⁰ को 6 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 0 होता है। अंतिम उत्तर A है।